Упр.552 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

1. а) Разложите число $$171$$ на два множителя, сумма которых была бы равна $$28$$. б) Разложите число $$231$$ на два множителя, разность которых была бы равна $$10$$. в) Сумма двух чисел равна $$3$$, а сумма их квадратов равна $$65$$. Найдите эти числа. г) Даны два числа, их разность и разность их квадратов равны $$11$$. Найдите данные числа.

1. а) Пусть множители равны $$a$$ и $$b$$. Тогда

   $$\begin{cases} ab=171,\\ a+b=28. \end{cases}$$

   Пусть $$b$$ — один из множителей. Тогда $$a=28-b$$, и

   $$(28-b)b=171$$

   $$b^2-28b+171=0.$$

   $$D=28^2-4\cdot171=784-684=100.$$

   $$b=\frac{28\pm 10}{2}$$

   $$b_1=9,\quad b_2=19.$$

   Тогда $$a=28-b$$, значит $$a=19$$ или $$a=9$$.

   Итак, числа: $$9$$ и $$19$$.

2. б) Пусть множители равны $$a$$ и $$b$$. Тогда

   $$\begin{cases} ab=231,\\ a-b=10. \end{cases}$$

   Пусть $$a=10+b$$. Тогда

   $$(10+b)b=231$$

   $$b^2+10b-231=0.$$

   $$D=10^2-4\cdot(-231)=100+924=1024.$$

   $$b=\frac{-10\pm 32}{2}$$

   $$b_1=11,\quad b_2=-21.$$

   Тогда

   $$a_1=21,\quad a_2=-11.$$

   Итак, числа: $$11$$ и $$21$$ или $$-21$$ и $$-11$$.

3. в) Пусть числа равны $$a$$ и $$b$$. Тогда

   $$\begin{cases} a+b=3,\\ a^2+b^2=65. \end{cases}$$

   Пусть $$a=3-b$$. Подставим:

   $$(3-b)^2+b^2=65$$

   $$9-6b+b^2+b^2=65$$

   $$2b^2-6b-56=0$$

   $$b^2-3b-28=0.$$

   $$D=9+112=121.$$

   $$b=\frac{3\pm 11}{2}$$

   $$b_1=7,\quad b_2=-4.$$

   Тогда

   $$a_1=-4,\quad a_2=7.$$

   Итак, числа: $$7$$ и $$-4$$.

4. г) Пусть числа равны $$a$$ и $$b$$. Тогда

   $$\begin{cases} a-b=11,\\ a^2-b^2=11. \end{cases}$$

   Так как $$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$, получаем

   $$11(a+b)=11$$

   $$a+b=1.$$

   Решим систему

   $$\begin{cases} a-b=11,\\ a+b=1. \end{cases}$$

   Складываем уравнения:

   $$2a=12,\quad a=6.$$

   Тогда

   $$b=1-6=-5.$$

   Итак, числа: $$-5$$ и $$6$$.

Ответ

а) $$9$$ и $$19$$; б) $$11$$ и $$21$$ или $$-21$$ и $$-11$$; в) $$7$$ и $$-4$$; г) $$-5$$ и $$6$$.