Упр.552 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

б) Разложите число 231 на два множителя, разность которых была бы равна 10.
в) Сумма двух чисел равна 3, а сумма их квадратов равна 65. Найдите эти числа.
г) Даны два числа, их разность и разность их квадратов равны 11. Найдите данные числа.

1. а) Пусть множители равны $$a$$ и $$b$$. Тогда

   $$ \begin{cases} ab=171,\\ a+b=28. \end{cases} $$

   Пусть $$b$$ — один из множителей. Тогда $$a=28-b$$, и

   $$ (28-b)b=171 $$

   $$ b^2-28b+171=0. $$

   $$ D=28^2-4\cdot171=784-684=100. $$

   $$ b=\frac{28\pm 10}{2} $$

   $$ b_1=9,\quad b_2=19. $$

   Тогда $$a=28-b$$, значит $$a=19$$ или $$a=9$$.

   Итак, числа: $$9$$ и $$19$$.

2. б) Пусть множители равны $$a$$ и $$b$$. Тогда

   $$ \begin{cases} ab=231,\\ a-b=10. \end{cases} $$

   Пусть $$a=10+b$$. Тогда

   $$ (10+b)b=231 $$

   $$ b^2+10b-231=0. $$

   $$ D=10^2-4\cdot(-231)=100+924=1024. $$

   $$ b=\frac{-10\pm 32}{2} $$

   $$ b_1=11,\quad b_2=-21. $$

   Тогда

   $$ a_1=21,\quad a_2=-11. $$

   Итак, числа: $$11$$ и $$21$$ или $$-21$$ и $$-11$$.

3. в) Пусть числа равны $$a$$ и $$b$$. Тогда

   $$ \begin{cases} a+b=3,\\ a^2+b^2=65. \end{cases} $$

   Пусть $$a=3-b$$. Подставим:

   $$ (3-b)^2+b^2=65 $$

   $$ 9-6b+b^2+b^2=65 $$

   $$ 2b^2-6b-56=0 $$

   $$ b^2-3b-28=0. $$

   $$ D=9+112=121. $$

   $$ b=\frac{3\pm 11}{2} $$

   $$ b_1=7,\quad b_2=-4. $$

   Тогда

   $$ a_1=-4,\quad a_2=7. $$

   Итак, числа: $$7$$ и $$-4$$.

4. г) Пусть числа равны $$a$$ и $$b$$. Тогда

   $$ \begin{cases} a-b=11,\\ a^2-b^2=11. \end{cases} $$

   Так как $$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$, получаем

   $$ 11(a+b)=11 $$

   $$ a+b=1. $$

   Решим систему

   $$ \begin{cases} a-b=11,\\ a+b=1. \end{cases} $$

   Складываем уравнения:

   $$ 2a=12,\quad a=6. $$

   Тогда

   $$ b=1-6=-5. $$

   Итак, числа: $$-5$$ и $$6$$.

Ответ

а) $$9$$ и $$19$$; б) $$11$$ и $$21$$ или $$-21$$ и $$-11$$; в) $$7$$ и $$-4$$; г) $$-5$$ и $$6$$.