Упр.551 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)
x2-6x+y2-2y+10=0,
15x-44x=1;
б) система
x2+4x+4y2-4y+5=0,
1005,5x+4024y=1;
в) система
x2+xy-6y2=0,
x2+5xy+7y2=21;
г) система
x2-4xy-5y2=0,
x2-3xy+6y2=21.
а)
$$x^2-6x+y^2-2y+10=0$$
$$x^2-6x+9+y^2-2y+1=0$$
$$(x-3)^2+(y-1)^2=0$$Сумма квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю:
$$x-3=0,\quad y-1=0$$
$$x=3,\quad y=1$$Проверка:
$$15\cdot 3-44\cdot 1=45-44=1$$
б)
$$x^2+4x+4y^2-4y+5=0$$
$$x^2+4x+4+4y^2-4y+1=0$$
$$(x+2)^2+(2y-1)^2=0$$Тогда
$$x+2=0,\quad 2y-1=0$$
$$x=-2,\quad y=\frac12$$Проверка:
$$1005{,}5\cdot(-2)+4024\cdot \frac12=-2011+2012=1$$
в)
$$x^2+xy-6y^2=0$$
$$x^2+5xy+7y^2=21$$Разложим первое уравнение на множители:
$$x^2+xy-6y^2=x^2+3xy-2xy-6y^2$$
$$x(x+3y)-2y(x+3y)=(x+3y)(x-2y)=0$$Значит, либо $$x=-3y$$, либо $$x=2y$$.
1) Если $$x=-3y$$, то
$$(-3y)^2+5y(-3y)+7y^2=21$$
$$9y^2-15y^2+7y^2=21$$
$$y^2=21$$
$$y=\pm\sqrt{21}$$Тогда получаем точки:
$$(-3\sqrt{21};\sqrt{21}),\quad (3\sqrt{21};-\sqrt{21})$$2) Если $$x=2y$$, то
$$(2y)^2+5y\cdot 2y+7y^2=21$$
$$4y^2+10y^2+7y^2=21$$
$$21y^2=21$$
$$y^2=1$$
$$y=\pm 1$$Тогда получаем точки:
$$(-2;-1),\quad (2;1)$$г)
$$x^2-4xy-5y^2=0$$
$$x^2-2xy+6y^2=21$$Разложим первое уравнение на множители:
$$x^2-4xy-5y^2=x^2-5xy+xy-5y^2$$
$$x(x-5y)+y(x-5y)=(x+y)(x-5y)=0$$Значит, либо $$x=-y$$, либо $$x=5y$$.
1) Если $$x=-y$$, то
$$(-y)^2-2y(-y)+6y^2=21$$
$$y^2+2y^2+6y^2=21$$
$$9y^2=21$$
$$y^2=\frac{7}{3}$$
$$y=\pm\sqrt{\frac{7}{3}}$$Тогда получаем точки:
$$\left(\sqrt{\frac{7}{3}};-\sqrt{\frac{7}{3}}\right),\quad \left(-\sqrt{\frac{7}{3}};\sqrt{\frac{7}{3}}\right)$$2) Если $$x=5y$$, то
$$(5y)^2-2y\cdot 5y+6y^2=21$$
$$25y^2-10y^2+6y^2=21$$
$$21y^2=21$$
$$y^2=1$$
$$y=\pm 1$$Тогда получаем точки:
$$(-5;-1),\quad (5;1)$$
Ответ
а) $$(3;1)$$
б) $$(-2;\tfrac12)$$
в) $$(-3\sqrt{21};\sqrt{21}),\ (3\sqrt{21};-\sqrt{21}),\ (-2;-1),\ (2;1)$$
г) $$\left(\sqrt{\frac{7}{3}};-\sqrt{\frac{7}{3}}\right),\ \left(-\sqrt{\frac{7}{3}};\sqrt{\frac{7}{3}}\right),\ (-5;-1),\ (5;1)$$
