Упр.550 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)
а) Система $$\begin{cases}x^2-4y+\dfrac{1}{x^2-4y}=2,\\ y^2-6x=-4.\end{cases}$$
в) Система $$\begin{cases}9x^2+4xy=1,\\ 9xy+4y^2=-2.\end{cases}$$
г) Система $$\begin{cases}3x^2-4xy=20,\\ 3xy-4y^2=-10.\end{cases}$$
а)
Пусть $$x^2-4y=a.$$ Тогда из первого уравнения получаем
$$a+\frac{1}{a}=2.$$
Умножим на $$a$$:
$$a^2-2a+1=0,$$
откуда $$a=1$$.
Тогда система принимает вид
$$\begin{cases} x^2-4y=1,\\ y^2-6x=-14. \end{cases}$$
Сложим уравнения:
$$x^2-4y+y^2-6x=-13,$$
$$x^2-6x+y^2-4y+13=0,$$
$$x^2-6x+9+y^2-4y+4=0,$$
$$(x-3)^2+(y-2)^2=0.$$
Следовательно, $$x=3,$$ $$y=2.$$
б)
Пусть
$$a=\frac{2x-3y}{x+y}.$$
Тогда из первого уравнения
$$a+\frac{3}{a}=4.$$
Умножим на $$a$$:
$$a^2-4a+3=0,$$
$$a_1=1,\quad a_2=3.$$
1) Если $$\frac{2x-3y}{x+y}=1,$$ то
$$2x-3y=x+y,$$
$$x=4y.$$
Подставим во второе уравнение:
$$x-y^2=9 \Rightarrow 4y-y^2=9,$$
$$y^2-4y+9=0.$$
$$D=16-36<0,$$ значит, решений нет.
2) Если $$\frac{2x-3y}{x+y}=3,$$ то
$$2x-3y=3x+3y,$$
$$x=-6y.$$
Подставим во второе уравнение:
$$-6y-y^2=9,$$
$$y^2+6y+9=0,$$
$$y=-3,$$ $$x=18.$$
в)
Пусть
$$\begin{cases} 9x^2+4xy=1,\\ 9xy+4y^2=-2. \end{cases}$$
Умножим первое уравнение на $$2$$ и сложим со вторым:
$$2(9x^2+4xy)+9xy+4y^2=0,$$
$$18x^2+17xy+4y^2=0.$$
Заметим, что удобнее сгруппировать так:
$$2(9x^2+4xy)+(9xy+4y^2)=0,$$
$$18x^2+17xy+4y^2=0.$$
Решим систему через разложение на множители:
$$\begin{cases} 9x^2+4xy=1,\\ 9xy+4y^2=-2. \end{cases}$$
Из первого уравнения и второго получаем
$$(9x+4y)(2x+y)=0.$$
Тогда либо $$9x+4y=0,$$ либо $$2x+y=0.$$
Если $$9x+4y=0,$$ то $$y=-\frac{9}{4}x,$$ и подстановка во второе уравнение даёт противоречие.
Если $$2x+y=0,$$ то $$y=-2x.$$ Подставим в первое уравнение:
$$9x^2+4x(-2x)=1,$$
$$x^2=1,$$
$$x=\pm1.$$
Тогда $$y=-2x,$$ значит,
$$(-1;2),\ (1;-2).$$
г)
Пусть
$$\begin{cases} 3x^2-4xy=20,\\ 3xy-4y^2=-10. \end{cases}$$
Умножим второе уравнение на $$2$$ и сложим с первым:
$$3x^2-4xy+2(3xy-4y^2)=0,$$
$$3x^2+2xy-8y^2=0,$$
$$(3x-4y)(x+2y)=0.$$
Значит, либо $$3x-4y=0,$$ либо $$x+2y=0.$$
1) Если $$3x-4y=0,$$ то $$x=\frac{4}{3}y.$$ Подстановка в первое уравнение даёт противоречие.
2) Если $$x+2y=0,$$ то $$x=-2y.$$ Подставим в первое уравнение:
$$3(-2y)^2-4(-2y)y=20,$$
$$12y^2+8y^2=20,$$
$$20y^2=20,$$
$$y=\pm1.$$
Тогда $$x=-2y,$$ значит,
$$(2;-1),\ (-2;1).$$
Ответ
а) $$(3;2)$$; б) $$(18;-3)$$; в) $$(-1;2),\ (1;-2)$$; г) $$(2;-1),\ (-2;1)$$.
