Упр.549 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

x2+12y=-68,
y2-4x=28;
б) система
4×2+2y=-1,
y2+4x=-1;
в) система
г) система

1. а)

   $$\begin{cases} x^2+12y=-68,\\ y^2-4x=28. \end{cases}$$
   Сложим уравнения:
   $$x^2-4x+y^2+12y=-40.$$
   Дополним до квадратов:
   $$x^2-4x+4+y^2+12y+36=0,$$
   $$\left(x-2\right)^2+\left(y+6\right)^2=0.$$
   Значит,
   $$x=2,\quad y=-6.$$

2. б)

   $$\begin{cases} 4x^2+2y=-1,\\ y^2+4x=-1. \end{cases}$$
   Сложим уравнения:
   $$4x^2+4x+y^2+2y=-2.$$
   Дополним до квадратов:
   $$4x^2+4x+1+y^2+2y+1=0,$$
   $$\left(2x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2=0.$$
   Тогда
   $$x=-\frac12,\quad y=-1.$$

3. в)

   $$\begin{cases} \dfrac{3}{2x-y}+\dfrac{2}{2x+y}=\dfrac75,\\[6pt] \dfrac{2}{2x-y}+\dfrac{3}{2x+y}=\dfrac{19}{15}. \end{cases}$$
   Обозначим
   $$\frac{1}{2x-y}=a,\quad \frac{1}{2x+y}=b.$$
   Тогда получаем систему:
   $$\begin{cases} 3a+2b=\dfrac75,\\[6pt] 2a+3b=\dfrac{19}{15}. \end{cases}$$
   Вычтем из первого уравнения второе:
   $$a-b=\frac75-\frac{19}{15}=\frac{21}{15}-\frac{19}{15}=\frac{2}{15}.$$
   Значит,
   $$a=b+\frac{2}{15}.$$
   Подставим в первое уравнение:
   $$3\left(b+\frac{2}{15}\right)+2b=\frac75,$$
   $$5b+\frac25=\frac75,$$
   $$5b=1,\quad b=\frac15.$$
   Тогда
   $$a=\frac15+\frac{2}{15}=\frac13.$$
   Получаем:
   $$\begin{cases} \dfrac{1}{2x-y}=\dfrac13,\\[6pt] \dfrac{1}{2x+y}=\dfrac15. \end{cases}$$
   Отсюда
   $$\begin{cases} 2x-y=3,\\ 2x+y=5. \end{cases}$$
   Складываем уравнения:
   $$4x=8,\quad x=2.$$
   Тогда
   $$2\cdot 2-y=3,\quad y=1.$$

4. г)

   $$\begin{cases} \dfrac{5}{3x-y}-\dfrac{2}{2x+y}=\dfrac{29}{21},\\[6pt] \dfrac{2}{3x-y}+\dfrac{5}{2x+y}=\dfrac{29}{21}. \end{cases}$$
   Обозначим
   $$\frac{1}{3x-y}=a,\quad \frac{1}{2x+y}=b.$$
   Тогда
   $$\begin{cases} 5a-2b=\dfrac{29}{21},\\[6pt] 2a+5b=\dfrac{29}{21}. \end{cases}$$
   Вычтем второе уравнение из первого:
   $$3a-7b=0,$$
   $$3a=7b,\quad a=\frac73\,b.$$
   Подставим в первое уравнение:
   $$5\cdot \frac73\,b-2b=\frac{29}{21},$$
   $$\frac{35}{3}b-2b=\frac{29}{21},$$
   $$\frac{29}{3}b=\frac{29}{21},$$
   $$b=\frac17,\quad a=\frac13.$$
   Тогда
   $$\begin{cases} \dfrac{1}{3x-y}=\dfrac13,\\[6pt] \dfrac{1}{2x+y}=\dfrac17. \end{cases}$$
   Получаем:
   $$\begin{cases} 3x-y=3,\\ 2x+y=7. \end{cases}$$
   Складываем уравнения:
   $$5x=10,\quad x=2.$$
   Тогда
   $$3\cdot 2-y=3,\quad y=3.$$

Ответ

а) $$\left(2;\,-6\right)$$; б) $$\left(-\frac12;\,-1\right)$$; в) $$\left(2;\,1\right)$$; г) $$\left(2;\,3\right)$$.