Упр.548 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)
548 а) система
x2+y2=5,
xy=-2;
б) система
x2+y2=13,
x/y+y/x=2*1/6;
в) система
x/y-y/x=5/6,
x2-y2=5;
г) система
x+xy+y=11,
x-xy+y=1.
а)
Из уравнения $$xy=-2$$ получаем $$x=-\frac{2}{y}$$, где $$y\neq 0$$.
Подставим в первое уравнение:
$$\left(-\frac{2}{y}\right)^2+y^2=5$$
$$\frac{4}{y^2}+y^2=5$$
Умножим на $$y^2$$:
$$4+y^4-5y^2=0$$
Пусть $$y^2=a$$. Тогда
$$a^2-5a+4=0$$
$$a_1=1,\quad a_2=4$$
Значит, $$y^2=1$$ или $$y^2=4$$, откуда $$y=\pm 1$$ или $$y=\pm 2$$.
Находим $$x=-\frac{2}{y}$$:
$$y=-1 \Rightarrow x=2,\quad y=1 \Rightarrow x=-2,$$
$$y=-2 \Rightarrow x=1,\quad y=2 \Rightarrow x=-1.$$
Получаем пары решений: $$\left(2;-1\right),\left(-2;1\right),\left(1;-2\right),\left(-1;2\right).$$
б)
Преобразуем второе уравнение:
$$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=2\frac{1}{6}=\frac{13}{6},\quad x\neq 0,\ y\neq 0$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{13}{6}$$
Так как $$x^2+y^2=13$$, то
$$\frac{13}{xy}=\frac{13}{6}$$
$$xy=6$$
Тогда $$y=\frac{6}{x}$$. Подставим в первое уравнение:
$$x^2+\left(\frac{6}{x}\right)^2=13$$
$$x^2+\frac{36}{x^2}=13$$
Умножим на $$x^2$$:
$$x^4-13x^2+36=0$$
Пусть $$x^2=a$$. Тогда
$$a^2-13a+36=0$$
$$a_1=4,\quad a_2=9$$
Значит, $$x^2=4$$ или $$x^2=9$$, откуда $$x=\pm 2$$ или $$x=\pm 3$$.
Из условия $$xy=6$$ получаем:
$$(-2)\cdot(-3)=6,\quad 2\cdot 3=6,\quad (-3)\cdot(-2)=6,\quad 3\cdot 2=6.$$
Ответ: $$\left(-2;-3\right),\left(2;3\right),\left(-3;-2\right),\left(3;2\right).$$
в)
Преобразуем первое уравнение:
$$\frac{x}{y}-\frac{y}{x}=\frac{5}{6},\quad x\neq 0,\ y\neq 0$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{x^2-y^2}{xy}=\frac{5}{6}$$
Так как $$x^2-y^2=5$$, то
$$\frac{5}{xy}=\frac{5}{6}$$
$$xy=6$$
Следовательно, $$y=\frac{6}{x}$$. Подставим во второе уравнение:
$$x^2-\left(\frac{6}{x}\right)^2=5$$
$$x^2-\frac{36}{x^2}=5$$
Умножим на $$x^2$$:
$$x^4-5x^2-36=0$$
Пусть $$x^2=a$$. Тогда
$$a^2-5a-36=0$$
$$a_1=-4,\quad a_2=9$$
Так как $$x^2\ge 0$$, значение $$a=-4$$ не подходит. Значит, $$x^2=9$$, откуда $$x=\pm 3$$.
Из $$xy=6$$ получаем:
$$x=-3 \Rightarrow y=-2,\quad x=3 \Rightarrow y=2.$$
Ответ: $$\left(-3;-2\right),\left(3;2\right).$$
г)
Вычтем из первого уравнения второе:
$$\left(x+xy+y\right)-\left(x-xy+y\right)=11-1$$
$$2xy=10$$
$$xy=5$$
Тогда $$x=\frac{5}{y}$$, где $$y\neq 0$$.
Подставим во второе уравнение:
$$\frac{5}{y}-\frac{5}{y}y+y=1$$
$$\frac{5}{y}-5+y=1$$
Умножим на $$y$$:
$$5-5y+y^2=y$$
$$y^2-6y+5=0$$
$$y_1=1,\quad y_2=5$$
Тогда
$$y=1 \Rightarrow x=5,\quad y=5 \Rightarrow x=1.$$
Ответ: $$\left(5;1\right),\left(1;5\right).$$
Ответ
а) $$\left(2;-1\right),\left(-2;1\right),\left(1;-2\right),\left(-1;2\right)$$; б) $$\left(-2;-3\right),\left(2;3\right),\left(-3;-2\right),\left(3;2\right)$$; в) $$\left(-3;-2\right),\left(3;2\right)$$; г) $$\left(5;1\right),\left(1;5\right)$$.
