Упр.547 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)
1/x-1/y=1/6,
x-y=-1;
б) система
1/y+1/x=5/6,
x+y=5;
в) система
1/x+1/y=-1/6,
x+y=1;
г) система
1/x-1/y=-1/12,
x-y=1;
д) система
2/y-3=-8,
3x+y=3;
е) система
2/x-3y=-1*5/12,
x-y=1;
ж) система
з) система
и) система
к) система
а)
Из второго уравнения: $$x=y-1.$$ Подставим в первое:
$$\frac{1}{y-1}-\frac{1}{y}=\frac{1}{6}.$$
Умножим на $$6y(y-1)$$:
$$6y-6(y-1)=y(y-1).$$
$$6y-6y+6=y^2-y,$$
$$y^2-y-6=0.$$
$$D=1+24=25,$$
$$y_1=\frac{1-5}{2}=-2,\quad y_2=\frac{1+5}{2}=3.$$
Тогда
$$x_1=-2-1=-3,\quad x_2=3-1=2.$$
Ответ: $$(-3;\,-2),\ (2;\,3).$$
б)
Из второго уравнения: $$x=5-y.$$ Подставим в первое:
$$\frac{1}{y}+\frac{1}{5-y}=\frac{5}{6}.$$
Умножим на $$6y(5-y)$$:
$$6(5-y)+6y=5y(5-y).$$
$$30=25y-5y^2,$$
$$5y^2-25y+30=0,$$
$$y^2-5y+6=0.$$
$$D=25-24=1,$$
$$y_1=2,\quad y_2=3.$$
Тогда
$$x_1=5-2=3,\quad x_2=5-3=2.$$
Ответ: $$ (3;\,2),\ (2;\,3). $$
в)
Из второго уравнения: $$x=1-y.$$ Подставим в первое:
$$\frac{1}{1-y}+\frac{1}{y}=-\frac{1}{6}.$$
Умножим на $$6y(1-y)$$:
$$6y+6(1-y)=-y(1-y).$$
$$6=y^2-y,$$
$$y^2-y-6=0.$$
$$D=25,$$
$$y_1=-2,\quad y_2=3.$$
Тогда
$$x_1=1-(-2)=3,\quad x_2=1-3=-2.$$
Ответ: $$ (3;\,-2),\ (-2;\,3). $$
г)
Из второго уравнения: $$x=1+y.$$ Подставим в первое:
$$\frac{1}{1+y}-\frac{1}{y}=-\frac{1}{12}.$$
Умножим на $$12y(1+y)$$:
$$12y-12(1+y)=-y(1+y).$$
$$y^2+y-12=0.$$
$$D=49,$$
$$y_1=-4,\quad y_2=3.$$
Тогда
$$x_1=1-4=-3,\quad x_2=1+3=4.$$
Ответ: $$(-3;\,-4),\ (4;\,3).$$
д)
Из первого уравнения:
$$\frac{2}{y}-\frac{3}{x}=-8.$$
Из второго:
$$y=3-3x.$$
Подставим:
$$\frac{2}{3-3x}-\frac{3}{x}=-8.$$
Умножим на $$x(3-3x)$$:
$$2x-3(3-3x)=-8x(3-3x).$$
$$2x-9+9x=-24x+24x^2,$$
$$24x^2-35x+9=0.$$
$$D=361,$$
$$x_1=\frac{35-19}{48}=\frac{1}{3},\quad x_2=\frac{35+19}{48}=\frac{9}{8}.$$
Тогда
$$y_1=3-3\cdot\frac{1}{3}=2,\quad y_2=3-3\cdot\frac{9}{8}=-\frac{3}{8}.$$
Ответ: $$\left(\frac{1}{3};\,2\right),\ \left(\frac{9}{8};\,-\frac{3}{8}\right).$$
е)
Из второго уравнения: $$x=1+y.$$ Подставим в первое:
$$\frac{2}{1+y}+\frac{3}{y}=-\frac{17}{12}.$$
Умножим на $$12y(1+y)$$:
$$24y+36(1+y)=-17y(1+y).$$
$$17y^2+77y+36=0.$$
$$D=3481,$$
$$y_1=-4,\quad y_2=-\frac{9}{17}.$$
Тогда
$$x_1=1-4=-3,\quad x_2=1-\left(-\frac{9}{17}\right)=\frac{8}{17}.$$
Ответ: $$(-3;\,-4),\ \left(\frac{8}{17};\,-\frac{9}{17}\right).$$
ж)
Из первого уравнения: $$x=4-y.$$ Подставим во второе:
$$\frac{x+2}{y-3}+\frac{y+2}{x-3}=-8.$$
Получаем
$$\frac{6-y}{y-3}+\frac{y+2}{1-y}=-8.$$
После преобразований:
$$y^2-4y+4=0,$$
$$\left(y-2\right)^2=0,$$
$$y=2,\quad x=4-2=2.$$
Ответ: $$(2;\,2).$$
з)
Из первого уравнения: $$x=5-y.$$ Подставим во второе:
$$\frac{x-3}{y+4}+\frac{y-3}{x+4}=-\frac{1}{20}.$$
Тогда
$$\frac{2-y}{y+4}+\frac{y-3}{9-y}=-\frac{1}{20}.$$
После преобразований получаем:
$$y^2-5y+4=0.$$
$$D=9,$$
$$y_1=1,\quad y_2=4.$$
Тогда
$$x_1=5-1=4,\quad x_2=5-4=1.$$
Ответ: $$(4;\,1),\ (1;\,4).$$
и)
Из второго уравнения: $$x=9-y.$$ Подставим в первое:
$$\frac{(x-1)^2}{(y+2)^2}+\frac{3(x-1)}{y+2}=4.$$
После подстановки и преобразований получаем:
$$3y^2+7y-48=0.$$
$$D=625,$$
$$y_1=-\frac{16}{3},\quad y_2=3.$$
Тогда
$$x_1=9-\left(-\frac{16}{3}\right)=\frac{43}{3},\quad x_2=9-3=6.$$
Ответ: $$\left(\frac{43}{3};\,-\frac{16}{3}\right),\ (6;\,3).$$
к)
Из второго уравнения: $$y=29-7x.$$ Подставим в первое:
$$\frac{(x+2)^2}{(y-3)^2}+\frac{2(x+2)}{y-3}=3.$$
После подстановки и преобразований получаем:
$$x^2-7x+12=0.$$
$$D=1,$$
$$x_1=3,\quad x_2=4.$$
Тогда
$$y_1=29-7\cdot 3=8,\quad y_2=29-7\cdot 4=1.$$
Ответ: $$(3;\,8),\ (4;\,1).$$
Ответ
а) $$(-3;\,-2),\ (2;\,3)$$; б) $$(3;\,2),\ (2;\,3)$$; в) $$(3;\,-2),\ (-2;\,3)$$; г) $$(-3;\,-4),\ (4;\,3)$$; д) $$\left(\frac{1}{3};\,2\right),\ \left(\frac{9}{8};\,-\frac{3}{8}\right)$$; е) $$(-3;\,-4),\ \left(\frac{8}{17};\,-\frac{9}{17}\right)$$; ж) $$(2;\,2)$$; з) $$(4;\,1),\ (1;\,4)$$; и) $$\left(\frac{43}{3};\,-\frac{16}{3}\right),\ (6;\,3)$$; к) $$(3;\,8),\ (4;\,1).$$
