Упр.546 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

x+y=-1,
y+z=5,
xz=3;
б) система
x+y=-3,
y-z=1,
x2+z2=10;
в) система
x2+y2+z2=35,
x+y=2,
x-z=4;
г) система
3y+z=x,
x-z=y,
x2-3x=5+z2;
д) система
4x-2y=7z,
y+z=x,
y2-4=8x-3z2;
е) система
x2+y2=x2,
x+y+z=12,
xy=12.

1. а)

   $$\begin{cases} x-y=-1,\\ y+z=5,\\ xz=3 \end{cases}$$
   Сложим первое и второе уравнения:
   $$x+z=4,\quad x=4-z.$$
   Подставим в третье уравнение:
   $$ (4-z)z=3 $$
   $$ z^2-4z+3=0 $$
   $$ (z-1)(z-3)=0 $$
   $$ z=1 \text{ или } z=3. $$
   Тогда
   $$ x=3 \text{ или } x=1, $$
   а из второго уравнения
   $$ y=4 \text{ или } y=2. $$
   Получаем пары:
   $$ (3;4;1),\ (1;2;3). $$

2. б)

   $$\begin{cases} x+y=-3,\\ y-z=1,\\ x^2+z^2=10 \end{cases}$$
   Из первых двух уравнений:
   $$x+z=-4,\quad x=-4-z.$$
   Подставим в третье уравнение:
   $$(-4-z)^2+z^2=10$$
   $$16+8z+z^2+z^2=10$$
   $$2z^2+8z+6=0$$
   $$z^2+4z+3=0$$
   $$ (z+1)(z+3)=0 $$
   $$ z=-1 \text{ или } z=-3. $$
   Тогда
   $$ x=-3 \text{ или } x=-1, $$
   а из второго уравнения
   $$ y=0 \text{ или } y=-2. $$
   Ответ:
   $$ (-1;-2;-3),\ (-3;0;-1). $$

3. в)

   $$\begin{cases} x^2+y^2+z^2=35,\\ x+y=2,\\ x-z=4 \end{cases}$$
   Из второго и третьего уравнений:
   $$y+z=-2,\quad y=-2-z,$$
   $$x=4+z.$$
   Подставим в первое уравнение:
   $$ (4+z)^2+(-2-z)^2+z^2=35 $$
   $$16+8z+z^2+4+4z+z^2+z^2=35$$
   $$3z^2+12z-15=0$$
   $$z^2+4z-5=0$$
   $$ (z-1)(z+5)=0 $$
   $$ z=1 \text{ или } z=-5. $$
   Тогда:
   $$ x=5,\ y=-3 \quad \text{или} \quad x=-1,\ y=3. $$
   Ответ:
   $$ (-1;3;-5),\ (5;-3;1). $$

4. г)

   $$\begin{cases} 3y+z=x,\\ x-z=y,\\ x^2-3x=5+z^2 \end{cases}$$
   Из первых двух уравнений:
   $$x-3y-z=0,$$
   $$x-z-y=0.$$
   Вычтем второе из первого:
   $$2y=0,\quad y=0.$$
   Тогда из второго уравнения:
   $$x-z=0,\quad x=z.$$
   Подставим в третье:
   $$z^2-3z=5+z^2$$
   $$-3z=5$$
   $$z=-\frac{5}{3}.$$
   Значит,
   $$x=-\frac{5}{3},\quad y=0.$$
   Ответ:
   $$\left(-\frac{5}{3};0;-\frac{5}{3}\right).$$

5. д)

   $$\begin{cases} 4x-2y=7z,\\ y+z=x,\\ y^2-4=8x-3z^2 \end{cases}$$
   Из второго уравнения:
   $$x=y+z.$$
   Подставим в первое:
   $$4(y+z)-2y=7z$$
   $$2y+4z=7z$$
   $$2y=3z,\quad y=\frac{3}{2}z.$$
   Тогда
   $$x=y+z=\frac{3}{2}z+z=\frac{5}{2}z.$$
   Подставим в третье уравнение:
   $$\left(\frac{3}{2}z\right)^2-4=8\cdot\frac{5}{2}z-3z^2$$
   $$\frac{9}{4}z^2-4=20z-3z^2$$
   $$21z^2-80z-16=0.$$
   Найдём корни:
   $$D=80^2+4\cdot21\cdot16=7744,\quad \sqrt{D}=88.$$
   $$z=\frac{80\pm88}{42}.$$
   Отсюда
   $$z=4 \text{ или } z=-\frac{4}{21}.$$
   Тогда:
   $$x=10,\ y=6 \quad \text{или} \quad x=-\frac{10}{21},\ y=-\frac{2}{7}.$$
   Ответ:
   $$\left(-\frac{10}{21};-\frac{2}{7};-\frac{4}{21}\right),\ (10;6;4).$$

6. е)

   $$\begin{cases} x^2+y^2=z^2,\\ x+y+z=12,\\ xy=12 \end{cases}$$
   Сложим первое и третье уравнения:
   $$x^2+y^2+2xy=z^2+24,$$
   $$ (x+y)^2=z^2+24. $$
   Из второго уравнения:
   $$x+y=12-z.$$
   Подставим:
   $$ (12-z)^2=z^2+24 $$
   $$144-24z+z^2=z^2+24$$
   $$24z=120$$
   $$z=5.$$
   Тогда
   $$x+y=7.$$
   Из уравнения $$xy=12$$ получаем:
   $$t^2-7t+12=0,$$
   $$ (t-3)(t-4)=0.$$
   Значит,
   $$x=3,\ y=4 \text{ или } x=4,\ y=3.$$
   Ответ:
   $$ (4;3;5),\ (3;4;5). $$

Ответ

а) $$ (3;4;1),\ (1;2;3) $$
б) $$ (-1;-2;-3),\ (-3;0;-1) $$
в) $$ (-1;3;-5),\ (5;-3;1) $$
г) $$ \left(-\frac{5}{3};0;-\frac{5}{3}\right) $$
д) $$ \left(-\frac{10}{21};-\frac{2}{7};-\frac{4}{21}\right),\ (10;6;4) $$
е) $$ (4;3;5),\ (3;4;5) $$