Упр.545 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

x+2y-z=1,
2x-y+2z=-1,
3x-2y+z=3;
б) система
x+2y-z=2,
3x-2y+z=2,
4x+4y+z=15;
в) система
x-y-z=-2,
x+2y+z=3,
2x+y-3z=7;
г) система
x+3y-z=8,
2x+4y+z=8,
2x+4y+z=3,
x+9y+4z=5;
д) система
2x-3y+z-10=0,
3x-4y-z+2=0,
x+y+z=0;
е) система
x-3y+2z=1,
x-y-z=2,
x+y+z=0.

1. а)

   $$\begin{cases} x+2y-z=1,\\ 2x-y+2z=-1,\\ 3x-2y+z=3. \end{cases}$$
   Сложим первое и третье уравнения:
   $$4x=4,\quad x=1.$$
   Подставим $$x=1$$ в первое уравнение:
   $$1+2y-z=1,$$
   $$2y=z.$$
   Подставим $$x=1$$ и $$z=2y$$ во второе уравнение:
   $$2\cdot 1-y+2\cdot 2y=-1,$$
   $$2-y+4y=-1,$$
   $$3y=-3,\quad y=-1.$$
   Тогда
   $$z=2y=2\cdot(-1)=-2.$$

   Ответ: $$(1;\,-1;\,-2).$$

2. б)

   $$\begin{cases} x+2y-z=2,\\ 3x-2y+z=2,\\ 4x+4y+z=15. \end{cases}$$
   Сложим первое и второе уравнения:
   $$4x=4,\quad x=1.$$
   Подставим $$x=1$$ в первое уравнение:
   $$1+2y-z=2,$$
   $$2y-z=1,$$
   $$z=2y-1.$$
   Подставим $$x=1$$ и $$z=2y-1$$ в третье уравнение:
   $$4\cdot 1+4y+(2y-1)=15,$$
   $$3+6y=15,$$
   $$6y=12,\quad y=2.$$
   Тогда
   $$z=2\cdot 2-1=3.$$

   Ответ: $$(1;\,2;\,3).$$

3. в)

   $$\begin{cases} x-y-z=-2,\\ x+2y+z=3,\\ 2x+y-3z=7. \end{cases}$$
   Сложим первое и второе уравнения:
   $$2x+y=1.$$
   Вычтем из этого равенства третье уравнение:
   $$2x+y-(2x+y-3z)=1-7,$$
   $$3z=-6,\quad z=-2.$$
   Подставим $$z=-2$$ в первое уравнение:
   $$x-y+2=-2,$$
   $$x-y=-4,$$
   $$x=y-4.$$
   Подставим $$z=-2$$ и $$x=y-4$$ во второе уравнение:
   $$y-4+2y-2=3,$$
   $$3y=9,\quad y=3.$$
   Тогда
   $$x=3-4=-1.$$

   Ответ: $$( -1;\,3;\,-2).$$

4. г)

   $$\begin{cases} x+3y-z=8,\\ 2x+4y+z=3,\\ x+9y+4z=5. \end{cases}$$
   Вычтем из третьего уравнения первое:
   $$6y+5z=-3.$$
   Выразим
   $$z=-\frac{3}{5}-\frac{6}{5}y.$$
   Подставим в первое уравнение:
   $$x+3y-\left(-\frac{3}{5}-\frac{6}{5}y\right)=8,$$
   $$x+\frac{21}{5}y=\frac{37}{5},$$
   $$x=\frac{37}{5}-\frac{21}{5}y.$$
   Подставим $$x$$ и $$z$$ во второе уравнение:
   $$2\left(\frac{37}{5}-\frac{21}{5}y\right)+4y-\frac{3}{5}-\frac{6}{5}y=3,$$
   $$\frac{71}{5}-\frac{28}{5}y=3,$$
   $$71-28y=15,$$
   $$y=2.$$
   Тогда
   $$x=\frac{37}{5}-\frac{42}{5}=-1,$$
   $$z=-\frac{3}{5}-\frac{12}{5}=-3.$$

   Ответ: $$( -1;\,2;\,-3).$$

5. д)

   $$\begin{cases} 2x-3y+z=10,\\ 3x-4y-z=-2,\\ x+y+z=0. \end{cases}$$
   Сложим первое и второе уравнения:
   $$5x-7y=8,$$
   $$x=\frac{7}{5}y+\frac{8}{5}.$$
   Подставим в третье уравнение:
   $$\frac{7}{5}y+\frac{8}{5}+y+z=0,$$
   $$z=-\frac{8}{5}-\frac{12}{5}y.$$
   Подставим $$x$$ и $$z$$ в первое уравнение:
   $$2\left(\frac{7}{5}y+\frac{8}{5}\right)-3y+\left(-\frac{8}{5}-\frac{12}{5}y\right)=10,$$
   $$-\frac{13}{5}y=\frac{42}{5},$$
   $$y=-\frac{42}{13}.$$
   Тогда
   $$x=\frac{7}{5}\cdot\left(-\frac{42}{13}\right)+\frac{8}{5}=-\frac{38}{13},$$
   $$z=-\frac{8}{5}-\frac{12}{5}\cdot\left(-\frac{42}{13}\right)=\frac{80}{13}.$$

   Ответ: $$\left(-\frac{38}{13};\,-\frac{42}{13};\,\frac{80}{13}\right).$$

6. е)

   $$\begin{cases} x-3y+2z=1,\\ x-y-z=2,\\ x+y+z=0. \end{cases}$$
   Сложим второе и третье уравнения:
   $$2x=2,\quad x=1.$$
   Подставим во второе уравнение:
   $$1-y-z=2,$$
   $$y+z=-1,$$
   $$y=-1-z.$$
   Подставим в первое уравнение:
   $$1-3(-1-z)+2z=1,$$
   $$1+3+3z+2z=1,$$
   $$5z=-3,\quad z=-\frac{3}{5}.$$
   Тогда
   $$y=-1-\left(-\frac{3}{5}\right)=-\frac{2}{5}.$$

   Ответ: $$\left(1;\,-\frac{2}{5};\,-\frac{3}{5}\right).$$