Упр.544 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

x+y+z=6,
y+z=3,
z=1;
б) система
x+y+z=0,
x+z=2,
z=-1;
в) система
x+y+z=2,
x+z=1,
x+y=3;
г) система
x+y+z=2,
y+z=3,
x+y=1;
д) система
x+y+z=-1,
x+2y=-1,
x-y=-5;
е) система
x+y+z=-1,
2y+z=4,
y-z=5;
ж) система
x+y+z=-1,
x-y+z=7,
x+y=-3;
з) система
x+y+z=1,
x+y-z=-3,
y+z=4;
и) система
x+y+z=3,
x+2y+3z=6,
2x-y+z=2;
к) система
x+y+z=-3,
x-y+z=-1,
x+2y-z=-2.

1. а)

   $$\begin{cases} x+y+z=6 \\ y+z=3 \\ z=1 \end{cases}$$
   Тогда $$y=3-1=2,$$ а затем $$x+2+1=6,$$ откуда $$x=3.$$

   Ответ: $$(3; 2; 1).$$

2. б)

   $$\begin{cases} x+y+z=0 \\ x+z=2 \\ z=-1 \end{cases}$$
   Тогда $$x+(-1)=2,$$ значит $$x=3.$$ Подставим в первое уравнение:
   $$3+y-1=0,$$ откуда $$y=-2.$$

   Ответ: $$(3; -2; -1).$$

3. в)

   $$\begin{cases} x+y+z=2 \\ x+z=1 \\ x+y=3 \end{cases}$$
   Из второго уравнения $$z=1-x,$$ из третьего $$y=3-x.$$ Подставим в первое:
   $$x+(3-x)+(1-x)=2,$$
   $$4-x=2,$$
   $$x=2.$$
   Тогда $$y=3-2=1,$$ $$z=1-2=-1.$$

   Ответ: $$(2; 1; -1).$$

4. г)

   $$\begin{cases} x+y+z=2 \\ y+z=3 \\ x+y=1 \end{cases}$$
   Из второго уравнения $$z=3-y,$$ из третьего $$x=1-y.$$ Подставим в первое:
   $$(1-y)+y+(3-y)=2,$$
   $$4-y=2,$$
   $$y=2.$$
   Тогда $$x=1-2=-1,$$ $$z=3-2=1.$$

   Ответ: $$(-1; 2; 1).$$

5. д)

   $$\begin{cases} x+y+z=-1 \\ x+2y=-1 \\ x-y=5 \end{cases}$$
   Из третьего уравнения $$x=5+y.$$ Подставим во второе:
   $$(5+y)+2y=-1,$$
   $$5+3y=-1,$$
   $$3y=-6,$$
   $$y=-2.$$
   Тогда $$x=5+(-2)=3,$$ а из первого:
   $$3+(-2)+z=-1,$$
   $$z=-2.$$

   Ответ: $$(3; -2; -2).$$

6. е)

   $$\begin{cases} x+y+z=-1 \\ 2y+z=4 \\ y-z=5 \end{cases}$$
   Из третьего уравнения $$z=y-5.$$ Подставим во второе:
   $$2y+(y-5)=4,$$
   $$3y=9,$$
   $$y=3.$$
   Тогда $$z=3-5=-2,$$ а из первого:
   $$x+3-2=-1,$$
   $$x=-2.$$

   Ответ: $$(-2; 3; -2).$$

7. ж)

   $$\begin{cases} x+y+z=-1 \\ x-y+z=7 \\ x+y=-3 \end{cases}$$
   Из третьего уравнения $$x=-3-y.$$ Подставим в первое:
   $$(-3-y)+y+z=-1,$$
   $$z=2.$$
   Подставим во второе:
   $$(-3-y)-y+2=7,$$
   $$-1-2y=7,$$
   $$-2y=8,$$
   $$y=-4.$$
   Тогда $$x=-3-(-4)=1.$$

   Ответ: $$(1; -4; 2).$$

8. з)

   $$\begin{cases} x+y+z=1 \\ x+y-z=-3 \\ y+z=4 \end{cases}$$
   Сложим первые два уравнения:
   $$2x+2y=-2,$$
   $$x+y=-1.$$
   Тогда из третьего:
   $$x+4=1,$$
   $$x=-3.$$
   Подставим в $$x+y=-1$$:
   $$-3+y=-1,$$
   $$y=2.$$
   Тогда $$z=4-2=2.$$

   Ответ: $$(-3; 2; 2).$$

9. и)

   $$\begin{cases} x+y+z=3 \\ x+2y+3z=6 \\ 2x-y+z=2 \end{cases}$$
   Из первого уравнения $$x=3-y-z.$$ Подставим во второе:
   $$(3-y-z)+2y+3z=6,$$
   $$y+2z=3.$$
   Подставим в третье:
   $$2(3-y-z)-y+z=2,$$
   $$6-3y-z=2,$$
   $$3y+z=4.$$
   Решим систему
   $$\begin{cases} y+2z=3 \\ 3y+z=4 \end{cases}$$
   Умножим первое уравнение на 3:
   $$3y+6z=9.$$
   Вычтем второе:
   $$5z=5,$$
   $$z=1.$$
   Тогда $$y=3-2=1,$$ $$x=3-1-1=1.$$

   Ответ: $$(1; 1; 1).$$

10. к)

    $$\begin{cases} x+y+z=-3 \\ x-y+z=-1 \\ x+2y-z=-2 \end{cases}$$
    Вычтем второе уравнение из первого:
    $$2y=-2,$$
    $$y=-1.$$
    Подставим в первое и третье:
    $$x-1+z=-3,$$
    $$x+z=-2,$$
    $$x+2(-1)-z=-2,$$
    $$x-z=0.$$
    Решаем систему
    $$\begin{cases} x+z=-2 \\ x-z=0 \end{cases}$$
    Складываем:
    $$2x=-2,$$
    $$x=-1,$$
    тогда $$z=-1.$$

    Ответ: $$(-1; -1; -1).$$