Упр.542 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

x+y-7=0,
x2+xy+y2=43;
б) система
x+y-6=0,
2×2-y2=-23;
в) система
x+y=3,
x2-y2-4xy+11=0;
г) система
x+y=12,
2xy=9(x-y);
д) система
9×2-12x+4y2+4y=15,
3x+2y=3;
е) система
9×2-30x-16y2-24y=0,
3x-4y=6;
ж) система
x2+y2+xy+x+y-2=0,
x-y=2;
з) система
x+y=1,
x2-2y2+xy-x-y+3=0.

1. а)

   $$x+y=7,\quad x=7-y$$
   $$x^2+xy+y^2=43$$
   $$ (7-y)^2+(7-y)y+y^2=43 $$
   $$49-14y+y^2+7y-y^2+y^2-43=0$$
   $$y^2-7y+6=0$$
   $$D=49-24=25$$
   $$y_1=\frac{7-5}{2}=1,\quad y_2=\frac{7+5}{2}=6$$
   $$x_1=7-1=6,\quad x_2=7-6=1$$

   Ответ: $$(6;1),\ (1;6).$$

2. б)

   $$x+y=6,\quad x=6-y$$
   $$2x^2-y^2=-23$$
   $$2(6-y)^2-y^2=-23$$
   $$2(36-12y+y^2)-y^2+23=0$$
   $$y^2-24y+95=0$$
   $$D=576-380=196$$
   $$y_1=\frac{24-14}{2}=5,\quad y_2=\frac{24+14}{2}=19$$
   $$x_1=6-5=1,\quad x_2=6-19=-13$$

   Ответ: $$(1;5),\ (-13;19).$$

3. в)

   $$x+y=3,\quad y=3-x$$
   $$x^2-y^2-4xy+11=0$$
   $$x^2-(3-x)^2-4x(3-x)+11=0$$
   $$x^2-(9-6x+x^2)-12x+4x^2+11=0$$
   $$4x^2-6x+2=0$$
   $$2x^2-3x+1=0$$
   $$D=9-8=1$$
   $$x_1=\frac{3-1}{4}=\frac12,\quad x_2=\frac{3+1}{4}=1$$
   $$y_1=3-\frac12=\frac52,\quad y_2=3-1=2$$

   Ответ: $$\left(\frac12;\frac52\right),\ (1;2).$$

4. г)

   $$x+y=12,\quad x=12-y$$
   $$2xy=9(x-y)$$
   $$2(12-y)y=9\bigl((12-y)-y\bigr)$$
   $$24y-2y^2=108-18y$$
   $$2y^2-42y+108=0$$
   $$y^2-21y+54=0$$
   $$D=441-216=225$$
   $$y_1=\frac{21-15}{2}=3,\quad y_2=\frac{21+15}{2}=18$$
   $$x_1=12-3=9,\quad x_2=12-18=-6$$

   Ответ: $$(9;3),\ (-6;18).$$

5. д)

   $$3x+2y=3,\quad x=1-\frac23y$$
   $$9x^2-12x+4y^2+4y=15$$
   $$9\left(1-\frac23y\right)^2-12\left(1-\frac23y\right)+4y^2+4y=15$$
   $$8y^2-18=0$$
   $$y^2=\frac94$$
   $$y_1=-\frac32,\quad y_2=\frac32$$
   $$x_1=1-\frac23\left(-\frac32\right)=2,\quad x_2=1-\frac23\cdot\frac32=0$$

   Ответ: $$(2;-\frac32),\ (0;\frac32).$$

6. е)

   $$3x-4y=6,\quad x=2+\frac43y$$
   $$9x^2-30x-16y^2-24y=0$$
   $$9\left(2+\frac43y\right)^2-30\left(2+\frac43y\right)-16y^2-24y=0$$
   $$-16y-24=0$$
   $$y=-\frac32$$
   $$x=2+\frac43\left(-\frac32\right)=0$$

   Ответ: $$(0;-\frac32).$$

7. ж)

   $$x-y=2,\quad y=x-2$$
   $$x^2+y^2+xy+x+y-2=0$$
   $$x^2+(x-2)^2+x(x-2)+x+(x-2)-2=0$$
   $$3x^2-4x=0$$
   $$x(3x-4)=0$$
   $$x_1=0,\quad x_2=\frac43$$
   $$y_1=0-2=-2,\quad y_2=\frac43-2=-\frac23$$

   Ответ: $$(0;-2),\ \left(\frac43;-\frac23\right).$$

8. з)

   $$x+y=1,\quad y=1-x$$
   $$x^2-2y^2+xy-x-y+3=0$$
   $$x^2-2(1-x)^2+x(1-x)-x-(1-x)+3=0$$
   $$-2x^2+5x=0$$
   $$x( -2x+5)=0$$
   $$x_1=0,\quad x_2=\frac52$$
   $$y_1=1-0=1,\quad y_2=1-\frac52=-\frac32$$

   Ответ: $$(0;1),\ \left(\frac52;-\frac32\right).$$