Упр.541 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

x2-y2=0,
x+y=0;
б) система
x2-y2=0,
x-y=0;
в) система
x+y=0,2,
x2-y2=2;
г) система
x-y=0,6,
y2-x2=12;
д) система
x-y=11,
xy=12;
е) система
y-x=4,
xy=5;
ж) система
xy=12,
x+y=1;
з) система
xy=15,
x+y=-5;
и) система
x-y=2,
xy=-13;
к) система
x+y=3,
xy=0;
л) система
x-y=3,
xy=0;
м) система
xy=5,
x-y=0.

1. а)

   $$\begin{cases} x^2-y^2=0,\\ x+y=0 \end{cases}$$
   Из второго уравнения $$x=-y$$. Подставим в первое:
   $$(-y)^2-y^2=0,$$
   $$y^2-y^2=0.$$
   Это верно при любом $$y$$. Тогда $$x=-y$$.

   Ответ: $$(x;\,-x).$$

2. б)

   $$\begin{cases} x^2-y^2=0,\\ x-y=0 \end{cases}$$
   Из второго уравнения $$x=y$$. Подставим в первое:
   $$y^2-y^2=0.$$
   Это верно при любом $$y$$. Тогда $$x=y$$.

   Ответ: $$(x;\,x).$$

3. в)

   $$\begin{cases} x+y=0{,}2,\\ x^2-y^2=2 \end{cases}$$
   Выразим $$x$$:
   $$x=0{,}2-y.$$
   Подставим:
   $$(0{,}2-y)^2-y^2=2,$$
   $$0{,}04-0{,}4y+y^2-y^2=2,$$
   $$-0{,}4y=1{,}96,$$
   $$y=-4{,}9.$$
   Тогда
   $$x=0{,}2-(-4{,}9)=5{,}1.$$

   Ответ: $$(5{,}1;\,-4{,}9).$$

4. г)

   $$\begin{cases} x-y=0{,}6,\\ y^2-x^2=12 \end{cases}$$
   Из первого уравнения $$x=0{,}6+y$$. Подставим:
   $$y^2-(0{,}6+y)^2=12,$$
   $$y^2-(0{,}36+1{,}2y+y^2)=12,$$
   $$-0{,}36-1{,}2y=12,$$
   $$-1{,}2y=12{,}36,$$
   $$y=-10{,}3.$$
   Тогда
   $$x=0{,}6+(-10{,}3)=-9{,}7.$$

   Ответ: $$(-9{,}7;\,-10{,}3).$$

5. д)

   $$\begin{cases} x-y=11,\\ xy=12 \end{cases}$$
   Из первого уравнения $$x=11+y$$. Подставим:
   $$(11+y)y=12,$$
   $$y^2+11y-12=0.$$
   $$D=11^2-4\cdot 1\cdot(-12)=121+48=169,$$
   $$\sqrt{D}=13.$$
   Тогда
   $$y_1=\frac{-11-13}{2}=-12,\qquad y_2=\frac{-11+13}{2}=1.$$
   Находим $$x$$:
   $$x_1=11+(-12)=-1,\qquad x_2=11+1=12.$$

   Ответ: $$(-1;\,-12),\ (12;\,1).$$

6. е)

   $$\begin{cases} y-x=4,\\ xy=5 \end{cases}$$
   Из первого уравнения $$x=y-4$$. Подставим:
   $$(y-4)y=5,$$
   $$y^2-4y-5=0.$$
   $$D=(-4)^2-4\cdot 1\cdot(-5)=16+20=36,$$
   $$\sqrt{D}=6.$$
   Тогда
   $$y_1=\frac{4-6}{2}=-1,\qquad y_2=\frac{4+6}{2}=5.$$
   Находим $$x$$:
   $$x_1=-1-4=-5,\qquad x_2=5-4=1.$$

   Ответ: $$(-5;\,-1),\ (1;\,5).$$

7. ж)

   $$\begin{cases} xy=12,\\ x+y=1 \end{cases}$$
   Из второго уравнения $$y=1-x$$. Подставим:
   $$x(1-x)=12,$$
   $$x-x^2-12=0,$$
   $$x^2-x+12=0.$$
   $$D=1-4\cdot 12=-47<0,$$ значит, действительных корней нет.

   Ответ: корней нет.

8. з)

   $$\begin{cases} xy=15,\\ x+y=-5 \end{cases}$$
   Из второго уравнения $$x=-5-y$$. Подставим:
   $$(-5-y)y=15,$$
   $$-5y-y^2-15=0,$$
   $$y^2+5y+15=0.$$
   $$D=25-60=-35<0,$$ значит, действительных корней нет.

   Ответ: корней нет.

9. и)

   $$\begin{cases} x-y=2,\\ xy=-13 \end{cases}$$
   Из первого уравнения $$x=2+y$$. Подставим:
   $$(2+y)y=-13,$$
   $$y^2+2y+13=0.$$
   $$D=4-52=-48<0,$$ значит, действительных корней нет.

   Ответ: корней нет.

10. к)

    $$\begin{cases} x+y=3,\\ xy=0 \end{cases}$$
    Так как $$xy=0$$, то $$x=0$$ или $$y=0$$.
    Если $$x=0$$, то $$y=3$$.
    Если $$y=0$$, то $$x=3$$.

    Ответ: $$(3;\,0),\ (0;\,3).$$

11. л)

    $$\begin{cases} x-y=3,\\ xy=0 \end{cases}$$
    Из первого уравнения $$x=3+y$$. Подставим во второе:
    $$(3+y)y=0.$$
    Тогда $$y_1=0$$ или $$y_2=-3$$.
    Соответственно,
    $$x_1=3,\qquad x_2=0.$$

    Ответ: $$(3;\,0),\ (0;\,-3).$$

12. м)

    $$\begin{cases} xy=5,\\ x-y=0 \end{cases}$$
    Из второго уравнения $$x=y$$. Тогда
    $$y^2=5,$$
    $$y=\pm\sqrt{5}.$$
    Следовательно, $$x=\pm\sqrt{5}.$$

    Ответ: $$(-\sqrt{5};\,-\sqrt{5}),\ (\sqrt{5};\,\sqrt{5}).$$