Упр.541 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

а)

$$\begin{cases} x^2-y^2=0,\\ x+y=0 \end{cases}$$
Из второго уравнения $$x=-y$$. Подставим в первое:
$$(-y)^2-y^2=0,$$
$$y^2-y^2=0.$$
Это верно при любом $$y$$. Тогда $$x=-y$$.

Ответ: $$(x;\,-x).$$

б)

$$\begin{cases} x^2-y^2=0,\\ x-y=0 \end{cases}$$
Из второго уравнения $$x=y$$. Подставим в первое:
$$y^2-y^2=0.$$
Это верно при любом $$y$$. Тогда $$x=y$$.

Ответ: $$(x;\,x).$$

в)

$$\begin{cases} x+y=0{,}2,\\ x^2-y^2=2 \end{cases}$$
Выразим $$x$$:
$$x=0{,}2-y.$$
Подставим:
$$(0{,}2-y)^2-y^2=2,$$
$$0{,}04-0{,}4y+y^2-y^2=2,$$
$$-0{,}4y=1{,}96,$$
$$y=-4{,}9.$$
Тогда
$$x=0{,}2-(-4{,}9)=5{,}1.$$

Ответ: $$(5{,}1;\,-4{,}9).$$

г)

$$\begin{cases} x-y=0{,}6,\\ y^2-x^2=12 \end{cases}$$
Из первого уравнения $$x=0{,}6+y$$. Подставим:
$$y^2-(0{,}6+y)^2=12,$$
$$y^2-(0{,}36+1{,}2y+y^2)=12,$$
$$-0{,}36-1{,}2y=12,$$
$$-1{,}2y=12{,}36,$$
$$y=-10{,}3.$$
Тогда
$$x=0{,}6+(-10{,}3)=-9{,}7.$$

Ответ: $$(-9{,}7;\,-10{,}3).$$

д)

$$\begin{cases} x-y=11,\\ xy=12 \end{cases}$$
Из первого уравнения $$x=11+y$$. Подставим:
$$(11+y)y=12,$$
$$y^2+11y-12=0.$$
$$D=11^2-4\cdot 1\cdot(-12)=121+48=169,$$
$$\sqrt{D}=13.$$
Тогда
$$y_1=\frac{-11-13}{2}=-12,\qquad y_2=\frac{-11+13}{2}=1.$$
Находим $$x$$:
$$x_1=11+(-12)=-1,\qquad x_2=11+1=12.$$

Ответ: $$(-1;\,-12),\ (12;\,1).$$

е)

$$\begin{cases} y-x=4,\\ xy=5 \end{cases}$$
Из первого уравнения $$x=y-4$$. Подставим:
$$(y-4)y=5,$$
$$y^2-4y-5=0.$$
$$D=(-4)^2-4\cdot 1\cdot(-5)=16+20=36,$$
$$\sqrt{D}=6.$$
Тогда
$$y_1=\frac{4-6}{2}=-1,\qquad y_2=\frac{4+6}{2}=5.$$
Находим $$x$$:
$$x_1=-1-4=-5,\qquad x_2=5-4=1.$$

Ответ: $$(-5;\,-1),\ (1;\,5).$$

ж)

$$\begin{cases} xy=12,\\ x+y=1 \end{cases}$$
Из второго уравнения $$y=1-x$$. Подставим:
$$x(1-x)=12,$$
$$x-x^2-12=0,$$
$$x^2-x+12=0.$$
$$D=1-4\cdot 12=-47<0,$$ значит, действительных корней нет.

Ответ: корней нет.

з)

$$\begin{cases} xy=15,\\ x+y=-5 \end{cases}$$
Из второго уравнения $$x=-5-y$$. Подставим:
$$(-5-y)y=15,$$
$$-5y-y^2-15=0,$$
$$y^2+5y+15=0.$$
$$D=25-60=-35<0,$$ значит, действительных корней нет.

Ответ: корней нет.

и)

$$\begin{cases} x-y=2,\\ xy=-13 \end{cases}$$
Из первого уравнения $$x=2+y$$. Подставим:
$$(2+y)y=-13,$$
$$y^2+2y+13=0.$$
$$D=4-52=-48<0,$$ значит, действительных корней нет.

Ответ: корней нет.

к)

$$\begin{cases} x+y=3,\\ xy=0 \end{cases}$$
Так как $$xy=0$$, то $$x=0$$ или $$y=0$$.
Если $$x=0$$, то $$y=3$$.
Если $$y=0$$, то $$x=3$$.

Ответ: $$(3;\,0),\ (0;\,3).$$

л)

$$\begin{cases} x-y=3,\\ xy=0 \end{cases}$$
Из первого уравнения $$x=3+y$$. Подставим во второе:
$$(3+y)y=0.$$
Тогда $$y_1=0$$ или $$y_2=-3$$.
Соответственно,
$$x_1=3,\qquad x_2=0.$$

Ответ: $$(3;\,0),\ (0;\,-3).$$

м)

$$\begin{cases} xy=5,\\ x-y=0 \end{cases}$$
Из второго уравнения $$x=y$$. Тогда
$$y^2=5,$$
$$y=\pm\sqrt{5}.$$
Следовательно, $$x=\pm\sqrt{5}.$$

Ответ: $$(-\sqrt{5};\,-\sqrt{5}),\ (\sqrt{5};\,\sqrt{5}).$$