Упр.540 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

а) $$\begin{cases}x^2+y^2=41,\\ y-x=1;\end{cases}$$

б) $$\begin{cases}x^2+y^2=13,\\ y-x=-1;\end{cases}$$

в) $$\begin{cases}x^2-y^2=3,\\ x+y=1;\end{cases}$$

г) $$\begin{cases}x-y=2,\\ x^2-y^2=8;\end{cases}$$

д) $$\begin{cases}x+y=-6,\\ y^2-x^2=3;\end{cases}$$

е) $$\begin{cases}x-y=-3,\\ y^2-x^2=-1.\end{cases}$$

1. а)

   $$y=x+1$$
   $$x^2+(x+1)^2=41$$
   $$x^2+x^2+2x+1-41=0$$
   $$2x^2+2x-40=0$$
   $$x^2+x-20=0$$
   $$D=1+80=81$$
   $$x_1=\frac{-1-9}{2}=-5,\quad x_2=\frac{-1+9}{2}=4$$
   $$y_1=-5+1=-4,\quad y_2=4+1=5$$

   Ответ: $$(-5;\,-4),\ (4;\,5)$$

2. б)

   $$y=x-1$$
   $$x^2+(x-1)^2=13$$
   $$x^2+x^2-2x+1-13=0$$
   $$2x^2-2x-12=0$$
   $$x^2-x-6=0$$
   $$D=1+24=25$$
   $$x_1=\frac{1-5}{2}=-2,\quad x_2=\frac{1+5}{2}=3$$
   $$y_1=-2-1=-3,\quad y_2=3-1=2$$

   Ответ: $$(-2;\,-3),\ (3;\,2)$$

3. в)

   $$y=1-x$$
   $$x^2-(1-x)^2=3$$
   $$x^2-(1-2x+x^2)=3$$
   $$2x-1=3$$
   $$2x=4$$
   $$x=2$$
   $$y=1-2=-1$$

   Ответ: $$\left(2;\,-1\right)$$

4. г)

   $$x= y+2$$
   $$(y+2)^2-y^2=8$$
   $$y^2+4y+4-y^2=8$$
   $$4y=4$$
   $$y=1$$
   $$x=1+2=3$$

   Ответ: $$\left(3;\,1\right)$$

5. д)

   $$x=-6-y$$
   $$y^2-(-6-y)^2=3$$
   $$y^2-(y^2+12y+36)=3$$
   $$-12y-36=3$$
   $$-12y=39$$
   $$y=-\frac{39}{12}=-\frac{13}{4}$$
   $$x=-6-\left(-\frac{13}{4}\right)=-\frac{24}{4}+\frac{13}{4}=-\frac{11}{4}$$

   Ответ: $$\left(-\frac{11}{4};\,-\frac{13}{4}\right)$$

6. е)

   $$x=y-3$$
   $$y^2-(y-3)^2=-1$$
   $$y^2-(y^2-6y+9)=-1$$
   $$6y-9=-1$$
   $$6y=8$$
   $$y=\frac{4}{3}$$
   $$x=\frac{4}{3}-3=\frac{4}{3}-\frac{9}{3}=-\frac{5}{3}$$

   Ответ: $$\left(-\frac{5}{3};\,\frac{4}{3}\right)$$