Упр.539 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

а)

$$\begin{cases} x+y=3,\\ xy=-40 \end{cases}$$
Пусть $$x=3-y$$. Тогда
$$(3-y)y=-40$$
$$y^2-3y-40=0$$
$$D=9+160=169,\quad \sqrt{D}=13$$
$$y_1=\frac{3-13}{2}=-5,\quad y_2=\frac{3+13}{2}=8$$
Тогда
$$x_1=3-(-5)=8,\quad x_2=3-8=-5$$

Ответ: $$(8;\,-5),\;(-5;\,8).$$

б)

$$\begin{cases} x+y=7,\\ xy=12 \end{cases}$$
Пусть $$x=7-y$$. Тогда
$$(7-y)y=12$$
$$y^2-7y+12=0$$
$$D=49-48=1$$
$$y_1=\frac{7-1}{2}=3,\quad y_2=\frac{7+1}{2}=4$$
Тогда
$$x_1=7-3=4,\quad x_2=7-4=3$$

Ответ: $$(4;\,3),\;(3;\,4).$$

в)

$$\begin{cases} x+y=3,\\ xy=-28 \end{cases}$$
Пусть $$x=3-y$$. Тогда
$$(3-y)y=-28$$
$$y^2-3y-28=0$$
$$D=9+112=121,\quad \sqrt{D}=11$$
$$y_1=\frac{3-11}{2}=-4,\quad y_2=\frac{3+11}{2}=7$$
Тогда
$$x_1=3-(-4)=7,\quad x_2=3-7=-4$$

Ответ: $$(7;\,-4),\;(-4;\,7).$$

г)

$$\begin{cases} x+y=-8,\\ xy=15 \end{cases}$$
Пусть $$x=-8-y$$. Тогда
$$(-8-y)y=15$$
$$y^2+8y+15=0$$
$$D=64-60=4,\quad \sqrt{D}=2$$
$$y_1=\frac{-8-2}{2}=-5,\quad y_2=\frac{-8+2}{2}=-3$$
Тогда
$$x_1=-8-(-5)=-3,\quad x_2=-8-(-3)=-5$$

Ответ: $$(-3;\,-5),\;(-5;\,-3).$$

д)

$$\begin{cases} xy=-15,\\ x-y=-8 \end{cases}$$
Из второго уравнения
$$y=x+8$$
Подставим в первое:
$$x(x+8)=-15$$
$$x^2+8x+15=0$$
$$D=64-60=4,\quad \sqrt{D}=2$$
$$x_1=\frac{-8-2}{2}=-5,\quad x_2=\frac{-8+2}{2}=-3$$
Тогда
$$y_1=-5+8=3,\quad y_2=-3+8=5$$

Ответ: $$(-5;\,3),\;(-3;\,5).$$

е)

$$\begin{cases} xy=8,\\ x-y=2 \end{cases}$$
Из второго уравнения
$$x=2+y$$
Подставим в первое:
$$(2+y)y=8$$
$$y^2+2y-8=0$$
$$D=4+32=36,\quad \sqrt{D}=6$$
$$y_1=\frac{-2-6}{2}=-4,\quad y_2=\frac{-2+6}{2}=2$$
Тогда
$$x_1=2+(-4)=-2,\quad x_2=2+2=4$$

Ответ: $$(-2;\,-4),\;(4;\,2).$$

ж)

$$\begin{cases} x+2y=4,\\ x^2+y=16 \end{cases}$$
Из первого уравнения
$$x=4-2y$$
Подставим во второе:
$$(4-2y)^2+y=16$$
$$16-16y+4y^2+y=16$$
$$4y^2-15y=0$$
$$y(4y-15)=0$$
$$y_1=0,\quad y_2=\frac{15}{4}$$
Тогда
$$x_1=4-2\cdot 0=4,\quad x_2=4-2\cdot \frac{15}{4}=4-\frac{15}{2}=-\frac{7}{2}$$

Ответ: $$(4;\,0),\;\left(-\frac{7}{2};\,\frac{15}{4}\right).$$

з)

$$\begin{cases} 3x+y=1,\\ x+y^2=1 \end{cases}$$
Из второго уравнения
$$x=1-y^2$$
Подставим в первое:
$$3(1-y^2)+y=1$$
$$3-3y^2+y-1=0$$
$$3y^2-y-2=0$$
$$D=1+24=25,\quad \sqrt{D}=5$$
$$y_1=\frac{1-5}{6}=-\frac{2}{3},\quad y_2=\frac{1+5}{6}=1$$
Тогда
$$x_1=1-\left(-\frac{2}{3}\right)^2=1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9},\quad x_2=1-1^2=0$$

Ответ: $$\left(\frac{5}{9};\,-\frac{2}{3}\right),\;(0;\,1).$$

и)

$$\begin{cases} x+2y=3,\\ 3x-y^2=17 \end{cases}$$
Из первого уравнения
$$x=3-2y$$
Подставим во второе:
$$3(3-2y)-y^2=17$$
$$9-6y-y^2-17=0$$
$$y^2+6y+8=0$$
$$D=36-32=4,\quad \sqrt{D}=2$$
$$y_1=\frac{-6-2}{2}=-4,\quad y_2=\frac{-6+2}{2}=-2$$
Тогда
$$x_1=3-2(-4)=11,\quad x_2=3-2(-2)=7$$

Ответ: $$(11;\,-4),\;(7;\,-2).$$