Упр.539 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

x+y=3,
xy=-40;
б) система
x+y=7,
xy=12;
в) система
x+y=3,
xy=-28;
г) система
x+y=-8,
xy=15;
д) система
xy=-15,
x-y=-8;
е) система
xy=8,
x-y=2;
ж) система
x+2y=4,
x2+y=16;
з) система
3x+y=1,
x+y2=1;
и) система
x+2y=3,
3x-y2=17.

1. а)

   $$\begin{cases} x+y=3,\\ xy=-40 \end{cases}$$
   Пусть $$x=3-y$$. Тогда
   $$ (3-y)y=-40 $$
   $$ y^2-3y-40=0 $$
   $$ D=9+160=169,\quad \sqrt{D}=13 $$
   $$ y_1=\frac{3-13}{2}=-5,\quad y_2=\frac{3+13}{2}=8 $$
   Тогда
   $$ x_1=3-(-5)=8,\quad x_2=3-8=-5 $$

   Ответ: $$(8;\,-5),\;(-5;\,8).$$

2. б)

   $$\begin{cases} x+y=7,\\ xy=12 \end{cases}$$
   Пусть $$x=7-y$$. Тогда
   $$ (7-y)y=12 $$
   $$ y^2-7y+12=0 $$
   $$ D=49-48=1 $$
   $$ y_1=\frac{7-1}{2}=3,\quad y_2=\frac{7+1}{2}=4 $$
   Тогда
   $$ x_1=7-3=4,\quad x_2=7-4=3 $$

   Ответ: $$(4;\,3),\;(3;\,4).$$

3. в)

   $$\begin{cases} x+y=3,\\ xy=-28 \end{cases}$$
   Пусть $$x=3-y$$. Тогда
   $$ (3-y)y=-28 $$
   $$ y^2-3y-28=0 $$
   $$ D=9+112=121,\quad \sqrt{D}=11 $$
   $$ y_1=\frac{3-11}{2}=-4,\quad y_2=\frac{3+11}{2}=7 $$
   Тогда
   $$ x_1=3-(-4)=7,\quad x_2=3-7=-4 $$

   Ответ: $$(7;\,-4),\;(-4;\,7).$$

4. г)

   $$\begin{cases} x+y=-8,\\ xy=15 \end{cases}$$
   Пусть $$x=-8-y$$. Тогда
   $$ (-8-y)y=15 $$
   $$ y^2+8y+15=0 $$
   $$ D=64-60=4,\quad \sqrt{D}=2 $$
   $$ y_1=\frac{-8-2}{2}=-5,\quad y_2=\frac{-8+2}{2}=-3 $$
   Тогда
   $$ x_1=-8-(-5)=-3,\quad x_2=-8-(-3)=-5 $$

   Ответ: $$(-3;\,-5),\;(-5;\,-3).$$

5. д)

   $$\begin{cases} xy=-15,\\ x-y=-8 \end{cases}$$
   Из второго уравнения
   $$ y=x+8 $$
   Подставим в первое:
   $$ x(x+8)=-15 $$
   $$ x^2+8x+15=0 $$
   $$ D=64-60=4,\quad \sqrt{D}=2 $$
   $$ x_1=\frac{-8-2}{2}=-5,\quad x_2=\frac{-8+2}{2}=-3 $$
   Тогда
   $$ y_1=-5+8=3,\quad y_2=-3+8=5 $$

   Ответ: $$(-5;\,3),\;(-3;\,5).$$

6. е)

   $$\begin{cases} xy=8,\\ x-y=2 \end{cases}$$
   Из второго уравнения
   $$ x=2+y $$
   Подставим в первое:
   $$ (2+y)y=8 $$
   $$ y^2+2y-8=0 $$
   $$ D=4+32=36,\quad \sqrt{D}=6 $$
   $$ y_1=\frac{-2-6}{2}=-4,\quad y_2=\frac{-2+6}{2}=2 $$
   Тогда
   $$ x_1=2+(-4)=-2,\quad x_2=2+2=4 $$

   Ответ: $$(-2;\,-4),\;(4;\,2).$$

7. ж)

   $$\begin{cases} x+2y=4,\\ x^2+y=16 \end{cases}$$
   Из первого уравнения
   $$ x=4-2y $$
   Подставим во второе:
   $$ (4-2y)^2+y=16 $$
   $$ 16-16y+4y^2+y=16 $$
   $$ 4y^2-15y=0 $$
   $$ y(4y-15)=0 $$
   $$ y_1=0,\quad y_2=\frac{15}{4} $$
   Тогда
   $$ x_1=4-2\cdot 0=4,\quad x_2=4-2\cdot \frac{15}{4}=4-\frac{15}{2}=-\frac{7}{2} $$

   Ответ: $$(4;\,0),\;\left(-\frac{7}{2};\,\frac{15}{4}\right).$$

8. з)

   $$\begin{cases} 3x+y=1,\\ x+y^2=1 \end{cases}$$
   Из второго уравнения
   $$ x=1-y^2 $$
   Подставим в первое:
   $$ 3(1-y^2)+y=1 $$
   $$ 3-3y^2+y-1=0 $$
   $$ 3y^2-y-2=0 $$
   $$ D=1+24=25,\quad \sqrt{D}=5 $$
   $$ y_1=\frac{1-5}{6}=-\frac{2}{3},\quad y_2=\frac{1+5}{6}=1 $$
   Тогда
   $$ x_1=1-\left(-\frac{2}{3}\right)^2=1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9},\quad x_2=1-1^2=0 $$

   Ответ: $$\left(\frac{5}{9};\,-\frac{2}{3}\right),\;(0;\,1).$$

9. и)

   $$\begin{cases} x+2y=3,\\ 3x-y^2=17 \end{cases}$$
   Из первого уравнения
   $$ x=3-2y $$
   Подставим во второе:
   $$ 3(3-2y)-y^2=17 $$
   $$ 9-6y-y^2-17=0 $$
   $$ y^2+6y+8=0 $$
   $$ D=36-32=4,\quad \sqrt{D}=2 $$
   $$ y_1=\frac{-6-2}{2}=-4,\quad y_2=\frac{-6+2}{2}=-2 $$
   Тогда
   $$ x_1=3-2(-4)=11,\quad x_2=3-2(-2)=7 $$

   Ответ: $$(11;\,-4),\;(7;\,-2).$$