Упр.521 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Задача

Ищем информацию. Используя учебник, справочную литературу и Интернет, найдите геометрические изображения множества решений следующих уравнений второй степени с двумя неизвестными:

а) $$x^2+y^2=1$$; б) $$x^2+\frac{y^2}{4}=1$$; в) $$x^2+y^2=0$$; г) $$x^2-y^2-1$$; д) $$x^2-y^2=0$$; е) $$x-y^2=0$$; ж) $$(x-y)^2=1$$; з) $$(x-y)^2=0$$; и) $$(x-y)^2=-1$$.

Подробный ответ

Рассмотрим каждое уравнение как уравнение множества точек плоскости.

$$x^2+y^2=1$$

Это окружность с центром в начале координат и радиусом $$1$$.
$$x^2+\frac{y^2}{4}=1$$

Это эллипс с центром в начале координат, полуоси: $$1$$ по оси $$x$$ и $$2$$ по оси $$y$$.
$$x^2+y^2=0$$

Так как сумма квадратов равна нулю, то
$$x=0,\quad y=0.$$

Это одна точка $$O(0,0)$$.
$$x^2-y^2=1$$

Это гипербола с центром в начале координат, ветви направлены вправо и влево.
$$x^2-y^2=0$$

Имеем
$$x^2=y^2 \Rightarrow x=\pm y.$$

Это две прямые:
$$y=x \quad \text{и} \quad y=-x.$$
$$x-y^2=0$$

То есть
$$x=y^2.$$

Это парабола с вершиной в начале координат, ветви направлены вправо.
$$(x-y)^2=1$$

Тогда
$$x-y=\pm 1,$$
то есть
$$y=x-1 \quad \text{и} \quad y=x+1.$$

Это две параллельные прямые.
$$(x-y)^2=0$$

Следовательно,
$$x-y=0,\quad y=x.$$

Это одна прямая.
$$(x-y)^2=-1$$

Квадрат числа не может быть отрицательным, поэтому решений нет.

Ответ

а) окружность; б) эллипс; в) точка $$O(0,0)$$; г) гипербола; д) две прямые $$y=x$$ и $$y=-x$$; е) парабола $$x=y^2$$; ж) две прямые $$y=x-1$$ и $$y=x+1$$; з) прямая $$y=x$$; и) решений нет.