Упр.517 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Задача

б) Докажите, что любая прямая на координатной плоскости хOу задаётся уравнением ах + by + с = 0 (а2 + b2 =/ 0).

Подробный ответ

а) Для функции $$y=kx$$ возьмём две точки:

$$O(0;0), \quad B(1;k).$$

Проверим, что они принадлежат графику:

при $$x=0$$ получаем $$y=k\cdot 0=0,$$ значит, точка $$O(0;0)$$ лежит на графике;

при $$x=1$$ получаем $$y=k\cdot 1=k,$$ значит, точка $$B(1;k)$$ тоже лежит на графике.

Так как график линейной функции $$y=kx$$ — прямая, проходящая через две точки $$O(0;0)$$ и $$B(1;k)$$, то утверждение доказано.

б) Пусть на плоскости задана произвольная прямая. Возьмём на ней точку $$M_0(x_0;y_0)$$ и нормальный вектор $$\vec n=(a;b),$$ где $$a^2+b^2\ne 0.$$

Для любой точки $$M(x;y)$$ этой прямой вектор $$\overrightarrow{M_0M}=(x-x_0;\,y-y_0)$$ перпендикулярен нормальному вектору, значит, их скалярное произведение равно нулю:

$$a(x-x_0)+b(y-y_0)=0.$$

Раскроем скобки:

$$ax-ax_0+by-by_0=0.$$

Обозначим $$c=-ax_0-by_0.$$ Тогда получаем уравнение

$$ax+by+c=0.$$

Следовательно, любая прямая на координатной плоскости задаётся уравнением вида $$ax+by+c=0,$$ где $$a^2+b^2\ne 0.$$