Упр.514 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 8 класс, Просвещение: 514

1. а) $$y=\frac{x-1}{x+1}$$

   Область определения: $$x\ne -1$$. Это гипербола с асимптотами $$x=-1$$ и $$y=1$$.

2. б) $$y=\left|\frac{x-1}{x+1}\right|$$

   Берём модуль от значения функции из пункта а): все отрицательные значения графика отражаются вверх относительно оси $$Ox$$. Область определения: $$x\ne -1$$.

3. в) $$y=\frac{|x|-1}{|x|+1}$$

   Так как $$|x|\ge 0$$, знаменатель всегда положителен. Функция чётная, график симметричен относительно оси $$Oy$$. При $$x=0$$ получаем $$y=-1$$, а при $$|x|\to\infty$$ имеем $$y\to 1$$.

4. г) $$y=\frac{|x|-1}{||x|+1|}$$

   Поскольку $$|x|+1>0$$, то $$||x|+1|=|x|+1$$. Значит,

   $$y=\frac{|x|-1}{|x|+1}$$

   График совпадает с пунктом в).

5. д) $$y=\frac{x-1}{|x-1|}$$

   Если $$x>1$$, то $$|x-1|=x-1$$ и $$y=1$$. Если $$x<1$$, то $$|x-1|=-(x-1)$$ и $$y=-1$$. При $$x=1$$ выражение не определено.

6. е) $$y=\frac{|x-2|}{x-2}$$

   Если $$x>2$$, то $$|x-2|=x-2$$ и $$y=1$$. Если $$x<2$$, то $$|x-2|=-(x-2)$$ и $$y=-1$$. При $$x=2$$ выражение не определено.

7. ж) $$y=\frac{x^2-4}{|x+2|}$$

   Разложим числитель:

   $$x^2-4=(x-2)(x+2)$$

   Тогда

   $$y=\frac{(x-2)(x+2)}{|x+2|}$$

   Если $$x>-2$$, то $$|x+2|=x+2$$ и $$y=x-2$$. Если $$x<-2$$, то $$|x+2|=-(x+2)$$ и $$y=2-x$$. При $$x=-2$$ выражение не определено.

8. з) $$y=\frac{|x+3|}{x^2-9}$$

   Разложим знаменатель:

   $$x^2-9=(x-3)(x+3)$$

   Область определения: $$x\ne -3,\; x\ne 3$$.

   Если $$x>-3$$, то $$|x+3|=x+3$$ и

   $$y=\frac{x+3}{(x-3)(x+3)}=\frac{1}{x-3}$$

   Если $$x<-3$$, то $$|x+3|=-(x+3)$$ и

   $$y=\frac{-(x+3)}{(x-3)(x+3)}=-\frac{1}{x-3}$$

9. и) $$y=\frac{4-x^2}{|x-2|}$$

   Разложим числитель:

   $$4-x^2=(2-x)(2+x)=-(x-2)(x+2)$$

   Если $$x>2$$, то $$|x-2|=x-2$$ и

   $$y=\frac{4-x^2}{x-2}=\frac{-(x-2)(x+2)}{x-2}=-(x+2)=-x-2$$

   Если $$x<2$$, то $$|x-2|=-(x-2)$$ и

   $$y=\frac{4-x^2}{-(x-2)}=\frac{-(x-2)(x+2)}{-(x-2)}=x+2$$

   При $$x=2$$ выражение не определено.

10. к) $$y=\frac{|x+1|}{x^2-1}$$

    Разложим знаменатель:

    $$x^2-1=(x-1)(x+1)$$

    Область определения: $$x\ne -1,\; x\ne 1$$.

    Если $$x>-1$$, то $$|x+1|=x+1$$ и

    $$y=\frac{x+1}{(x-1)(x+1)}=\frac{1}{x-1}$$

    Если $$x<-1$$, то $$|x+1|=-(x+1)$$ и

    $$y=\frac{-(x+1)}{(x-1)(x+1)}=-\frac{1}{x-1}$$

11. л) $$y=\left|\{x\}-\frac12\right|$$

    Здесь $$\{x\}$$ — дробная часть числа $$x$$, поэтому $$0\le \{x\}<1$$. График — периодическая ломаная с периодом $$1$$, симметричная относительно прямых $$x=n+\frac12$$, $$n\in\mathbb Z$$.

Ответ

а) гипербола с асимптотами $$x=-1$$ и $$y=1$$;
б) график пункта а), отражённый выше оси $$Ox$$;
в) $$y=\frac{|x|-1}{|x|+1}$$;
г) тот же график, что и в пункте в);
д) $$y=\begin{cases}1,& x>1,\\ -1,& x<1,\end{cases}$$ $$x\ne 1$$;
е) $$y=\begin{cases}1,& x>2,\\ -1,& x<2,\end{cases}$$ $$x\ne 2$$;
ж) $$y=\begin{cases}x-2,& x>-2,\\ 2-x,& x<-2,\end{cases}$$ $$x\ne -2$$;
з) $$y=\begin{cases}\frac{1}{x-3},& x>-3,\\ -\frac{1}{x-3},& x<-3,\end{cases}$$ $$x\ne \pm 3$$;
и) $$y=\begin{cases}-x-2,& x>2,\\ x+2,& x<2,\end{cases}$$ $$x\ne 2$$;
к) $$y=\begin{cases}\frac{1}{x-1},& x>-1,\\ -\frac{1}{x-1},& x<-1,\end{cases}$$ $$x\ne \pm 1$$;
л) периодическая ломаная с периодом $$1$$.