Упр.512 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

б) y=|x| — x;
в) у = х * |х|;
г) y= |x-2| + |x+2|;
д) У = ||x — 3|;
е) y= ||x|-2|-1|;
ж) у = х2 — 6|x|;
з) y=x2-4|x|;
и) у = х2 — 2|х| — 1;
к) y=x2+2|x| -1;
л) у = |х2 — 4х + 3|;
м) y= |x2-2|x||;
н) у = |х2 — 4|х||;
о) y= |x2 — 2|x|-1|;
п) у = |х2 + 2|х| — 1|.

1. а) При $$x \ge 0$$ имеем $$|x|=x$$, значит $$y=|x|+x=2x$$. При $$x<0$$ имеем $$|x|=-x$$, тогда $$y=0$$.

   Следовательно, $$y=\begin{cases}0, & x<0, \\ 2x, & x\ge 0.\end{cases}$$

2. б) При $$x \ge 0$$: $$y=|x|-x=x-x=0$$. При $$x<0$$: $$y=|x|-x=-x-x=-2x$$.

   Значит, $$y=\begin{cases}-2x, & x<0, \\ 0, & x\ge 0.\end{cases}$$

3. в) При $$x \ge 0$$: $$y=x\cdot |x|=x^2$$. При $$x<0$$: $$y=x\cdot (-x)=-x^2$$.

   Итак, $$y=\begin{cases}-x^2, & x<0, \\ x^2, & x\ge 0.\end{cases}$$

4. г) Рассмотрим промежутки:

   если $$x\le -2$$, то $$|x-2|=2-x$$ и $$|x+2|=-x-2$$, поэтому $$y=-2x$$;

   если $$-2\le x\le 2$$, то $$|x-2|=2-x$$ и $$|x+2|=x+2$$, поэтому $$y=4$$;

   если $$x\ge 2$$, то $$|x-2|=x-2$$ и $$|x+2|=x+2$$, поэтому $$y=2x$$.

   Значит, $$y=\begin{cases}-2x, & x\le -2, \\ 4, & -2\le x\le 2, \\ 2x, & x\ge 2.\end{cases}$$

5. д) $$y=||x|-3|$$. Если $$|x|\le 3$$, то $$y=3-|x|$$; если $$|x|\ge 3$$, то $$y=|x|-3$$.

   То есть $$y=\begin{cases}3-|x|, & |x|\le 3, \\ |x|-3, & |x|\ge 3.\end{cases}$$

6. е) $$y=||x|-2|-1|$$. Сначала рассмотрим $$t=|x|$$.

   Если $$t\ge 2$$, то $$||x|-2|-1|=|t-2-1|=|t-3|$$; если $$0\le t\le 2$$, то $$||x|-2|-1|=|2-t-1|=|1-t|$$.

   Удобно записать по промежуткам:

   $$y=\begin{cases}-x-1, & x\le -3, \\ x+1, & -3\le x\le -2, \\ -x-1, & -2\le x\le -1, \\ x+1, & -1\le x\le 0, \\ 1-x, & 0\le x\le 1, \\ x-1, & 1\le x\le 2, \\ 1-x, & 2\le x\le 3, \\ x-1, & x\ge 3.\end{cases}$$

7. ж) $$y=x^2-6|x|$$. При $$x\ge 0$$: $$y=x^2-6x=(x-3)^2-9$$. При $$x<0$$: $$y=x^2+6x=(x+3)^2-9$$.

   Значит, $$y=\begin{cases}x^2+6x, & x<0, \\ x^2-6x, & x\ge 0.\end{cases}$$

8. з) $$y=x^2-4|x|$$. При $$x\ge 0$$: $$y=x^2-4x=(x-2)^2-4$$. При $$x<0$$: $$y=x^2+4x=(x+2)^2-4$$.

   Итак, $$y=\begin{cases}x^2+4x, & x<0, \\ x^2-4x, & x\ge 0.\end{cases}$$

9. и) $$y=x^2-2|x|-1$$. При $$x\ge 0$$: $$y=x^2-2x-1$$. При $$x<0$$: $$y=x^2+2x-1$$.

   Следовательно, $$y=\begin{cases}x^2+2x-1, & x<0, \\ x^2-2x-1, & x\ge 0.\end{cases}$$

10. к) $$y=x^2+2|x|-1$$. При $$x\ge 0$$: $$y=x^2+2x-1$$. При $$x<0$$: $$y=x^2-2x-1$$.

    Значит, $$y=\begin{cases}x^2-2x-1, & x<0, \\ x^2+2x-1, & x\ge 0.\end{cases}$$

11. л) $$y=|x^2-4x+3|=|(x-1)(x-3)|$$.

    Знак выражения $$x^2-4x+3$$ меняется в точках $$x=1$$ и $$x=3$$. Поэтому

    $$y=\begin{cases}x^2-4x+3, & x\le 1 \text{ или } x\ge 3, \\ -x^2+4x-3, & 1\le x\le 3.\end{cases}$$

12. м) $$y=|x^2-2|x||$$. При $$x\ge 0$$: $$y=|x^2-2x|=|x(x-2)|$$. При $$x<0$$: $$y=|x^2+2x|=|x(x+2)|$$.

    По промежуткам получаем:

    $$y=\begin{cases}x^2+2x, & x\le -2, \\ -x^2-2x, & -2\le x\le 0, \\ -x^2+2x, & 0\le x\le 2, \\ x^2-2x, & x\ge 2.\end{cases}$$

13. н) $$y=|x^2-4|x||$$. При $$x\ge 0$$: $$y=|x^2-4x|=|x(x-4)|$$. При $$x<0$$: $$y=|x^2+4x|=|x(x+4)|$$.

    Тогда

    $$y=\begin{cases}x^2+4x, & x\le -4, \\ -x^2-4x, & -4\le x\le 0, \\ -x^2+4x, & 0\le x\le 4, \\ x^2-4x, & x\ge 4.\end{cases}$$

14. о) $$y=|x^2-2|x|-1|$$. При $$x\ge 0$$: $$y=|x^2-2x-1|$$, при $$x<0$$: $$y=|x^2+2x-1|$$.

    Корни соответствующих квадратных трёхчленов: $$x=1\pm \sqrt2$$ и $$x=-1\pm \sqrt2$$. Поэтому

    $$y=\begin{cases}x^2+2x-1, & x\le -1-\sqrt2, \\ -x^2-2x+1, & -1-\sqrt2\le x\le -1+\sqrt2, \\ x^2+2x-1, & -1+\sqrt2\le x\le 0, \\ x^2-2x-1, & 0\le x\le 1-\sqrt2, \\ -x^2+2x+1, & 1-\sqrt2\le x\le 1+\sqrt2, \\ x^2-2x-1, & x\ge 1+\sqrt2.\end{cases}$$

15. п) $$y=|x^2+2|x|-1|$$. При $$x\ge 0$$: $$y=|x^2+2x-1|$$, при $$x<0$$: $$y=|x^2-2x-1|$$.

    Корни: $$x=-1\pm \sqrt2$$ и $$x=1\pm \sqrt2$$. Тогда

    $$y=\begin{cases}x^2-2x-1, & x\le -1-\sqrt2, \\ -x^2+2x+1, & -1-\sqrt2\le x\le -1+\sqrt2, \\ x^2-2x-1, & -1+\sqrt2\le x\le 0, \\ x^2+2x-1, & 0\le x\le -1+\sqrt2, \\ -x^2-2x+1, & -1+\sqrt2\le x\le 1+\sqrt2, \\ x^2+2x-1, & x\ge 1+\sqrt2.\end{cases}$$

Ответ

а) $$y=\begin{cases}0, & x<0, \\ 2x, & x\ge 0;\end{cases}$$ б) $$y=\begin{cases}-2x, & x<0, \\ 0, & x\ge 0;\end{cases}$$ в) $$y=\begin{cases}-x^2, & x<0, \\ x^2, & x\ge 0;\end{cases}$$ г) $$y=\begin{cases}-2x, & x\le -2, \\ 4, & -2\le x\le 2, \\ 2x, & x\ge 2;\end{cases}$$ д) $$y=\begin{cases}3-|x|, & |x|\le 3, \\ |x|-3, & |x|\ge 3;\end{cases}$$ е) $$y=\begin{cases}-x-1, & x\le -3, \\ x+1, & -3\le x\le -2, \\ -x-1, & -2\le x\le -1, \\ x+1, & -1\le x\le 0, \\ 1-x, & 0\le x\le 1, \\ x-1, & 1\le x\le 2, \\ 1-x, & 2\le x\le 3, \\ x-1, & x\ge 3;\end{cases}$$ ж) $$y=\begin{cases}x^2+6x, & x<0, \\ x^2-6x, & x\ge 0;\end{cases}$$ з) $$y=\begin{cases}x^2+4x, & x<0, \\ x^2-4x, & x\ge 0;\end{cases}$$ и) $$y=\begin{cases}x^2+2x-1, & x<0, \\ x^2-2x-1, & x\ge 0;\end{cases}$$ к) $$y=\begin{cases}x^2-2x-1, & x<0, \\ x^2+2x-1, & x\ge 0;\end{cases}$$ л) $$y=\begin{cases}x^2-4x+3, & x\le 1 \text{ или } x\ge 3, \\ -x^2+4x-3, & 1\le x\le 3;\end{cases}$$ м) $$y=\begin{cases}x^2+2x, & x\le -2, \\ -x^2-2x, & -2\le x\le 0, \\ -x^2+2x, & 0\le x\le 2, \\ x^2-2x, & x\ge 2;\end{cases}$$ н) $$y=\begin{cases}x^2+4x, & x\le -4, \\ -x^2-4x, & -4\le x\le 0, \\ -x^2+4x, & 0\le x\le 4, \\ x^2-4x, & x\ge 4;\end{cases}$$ о) $$y=\begin{cases}x^2+2x-1, & x\le -1-\sqrt2, \\ -x^2-2x+1, & -1-\sqrt2\le x\le -1+\sqrt2, \\ x^2+2x-1, & -1+\sqrt2\le x\le 0, \\ x^2-2x-1, & 0\le x\le 1-\sqrt2, \\ -x^2+2x+1, & 1-\sqrt2\le x\le 1+\sqrt2, \\ x^2-2x-1, & x\ge 1+\sqrt2;\end{cases}$$ п) $$y=\begin{cases}x^2-2x-1, & x\le -1-\sqrt2, \\ -x^2+2x+1, & -1-\sqrt2\le x\le -1+\sqrt2, \\ x^2-2x-1, & -1+\sqrt2\le x\le 0, \\ x^2+2x-1, & 0\le x\le -1+\sqrt2, \\ -x^2-2x+1, & -1+\sqrt2\le x\le 1+\sqrt2, \\ x^2+2x-1, & x\ge 1+\sqrt2.\end{cases}$$