Упр.491 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)
- Задана функция $$y=\frac{6}{x}$$.
а) Для каких значений $$x$$ определена данная функция?
б) Является ли эта функция чётной (нечётной)? На каких промежутках она возрастает (убывает)?
в) Вычислите значения $$y$$, соответствующие значениям $$x$$: $$-6,\,-3,\,-2,\,-1,\,1,\,2,\,3,\,6$$.
г) В каких четвертях располагается график данной функции?
д) Постройте график функции $$y=\frac{6}{x}$$ в системе координат $$xOy$$.
е) С помощью графика определите $$y(4)$$, $$y(-4)$$, $$y(5)$$, $$y(-5)$$. Проверьте полученные результаты вычислением с помощью формулы.
ж) При каких значениях $$x$$ верно неравенство: $$y>0$$; $$y<0$$?
Дана функция $$y=\frac{6}{x}.$$
а) Знаменатель не должен быть равен нулю, значит
$$x\ne 0.$$
Область определения:
$$(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
б) Проверим чётность:
$$f(-x)=\frac{6}{-x}=-\frac{6}{x}=-f(x).$$
Следовательно, функция нечётная.
На каждом из промежутков $$(-\infty;0)$$ и $$(0;+\infty)$$ функция убывает.
в) Найдём значения функции:
| $$x$$ | $$-6$$ | $$-3$$ | $$-2$$ | $$-1$$ | $$1$$ | $$2$$ | $$3$$ | $$6$$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $$y=\frac{6}{x}$$ | $$-1$$ | $$-2$$ | $$-3$$ | $$-6$$ | $$6$$ | $$3$$ | $$2$$ | $$1$$ |
г) Так как при $$x>0$$ имеем $$y>0$$, а при $$x<0$$ имеем $$y<0$$, график расположен в первой и третьей четвертях.
д) График функции $$y=\frac{6}{x}$$ — гипербола с асимптотами $$x=0$$ и $$y=0$$. Для построения можно отметить точки $$(-6;-1),(-3;-2),(-2;-3),(-1;-6),(1;6),(2;3),(3;2),(6;1)$$ и провести через них плавные ветви гиперболы.
е) Вычислим значения:
$$y(4)=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}=1{,}5,$$
$$y(-4)=\frac{6}{-4}=-\frac{3}{2}=-1{,}5,$$
$$y(5)=\frac{6}{5}=1{,}2,$$
$$y(-5)=\frac{6}{-5}=-1{,}2.$$
ж) Для неравенства $$y>0$$ получаем
$$\frac{6}{x}>0 \Rightarrow x\in(0;+\infty).$$
Для неравенства $$y<0$$ получаем
$$\frac{6}{x}<0 \Rightarrow x\in(-\infty;0).$$
Ответ
а) $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$; б) функция нечётная, убывает на $$(-\infty;0)$$ и $$(0;+\infty)$$; в) $$-1,-2,-3,-6,6,3,2,1$$; г) в первой и третьей четвертях; е) $$y(4)=1{,}5$$, $$y(-4)=-1{,}5$$, $$y(5)=1{,}2$$, $$y(-5)=-1{,}2$$; ж) $$y>0$$ при $$x\in(0;+\infty)$$, $$y<0$$ при $$x\in(-\infty;0)$$.
