Упр.477 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)
а) у = х2 — 3х + 5;
б) у = х2 + 7х — 8;
в) у = 2х2 — х + 1;
г) у = 5х2 + 4х — 2;
д) у = -3х2 + 5х — 10;
е) у = -10х2 — х + 3.
а) $$y=x^2-3x+5$$
$$D=(-3)^2-4\cdot 1\cdot 5=9-20=-11<0$$
Точек пересечения с осью $$Ox$$ нет.
$$x_0=-\frac{b}{2a}=\frac{3}{2}, \qquad y_0=f\!\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{11}{4}$$
Вершина: $$\left(\frac{3}{2};\frac{11}{4}\right)$$.
При $$x=0$$ получаем $$y=5$$, значит точка пересечения с осью $$Oy$$: $$\left(0;5\right)$$.
Ось симметрии: $$x=\frac{3}{2}$$.
б) $$y=x^2+7x-8$$
$$D=7^2-4\cdot 1\cdot(-8)=49+32=81>0$$
$$x_{1,2}=\frac{-7\pm 9}{2}$$
$$x_1=-8,\qquad x_2=1$$
Точки пересечения с осью $$Ox$$: $$(-8;0)$$ и $$\left(1;0\right)$$.
$$x_0=-\frac{7}{2}, \qquad y_0=f\!\left(-\frac{7}{2}\right)=-\frac{81}{4}$$
Вершина: $$\left(-\frac{7}{2};-\frac{81}{4}\right)$$.
При $$x=0$$ получаем $$y=-8$$, значит точка пересечения с осью $$Oy$$: $$\left(0;-8\right)$$.
Ось симметрии: $$x=-\frac{7}{2}$$.
в) $$y=2x^2-x+1$$
$$D=(-1)^2-4\cdot 2\cdot 1=1-8=-7<0$$
Точек пересечения с осью $$Ox$$ нет.
$$x_0=-\frac{b}{2a}=\frac{1}{4}, \qquad y_0=f\!\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{7}{8}$$
Вершина: $$\left(\frac{1}{4};\frac{7}{8}\right)$$.
При $$x=0$$ получаем $$y=1$$, значит точка пересечения с осью $$Oy$$: $$\left(0;1\right)$$.
Ось симметрии: $$x=\frac{1}{4}$$.
г) $$y=5x^2+4x-2$$
$$D=4^2-4\cdot 5\cdot(-2)=16+40=56$$
$$x_{1,2}=\frac{-4\pm \sqrt{56}}{10}=\frac{-2\pm \sqrt{14}}{5}$$
Точки пересечения с осью $$Ox$$: $$\left(\frac{-2-\sqrt{14}}{5};0\right)$$ и $$\left(\frac{-2+\sqrt{14}}{5};0\right)$$.
$$x_0=-\frac{4}{10}=-\frac{2}{5}, \qquad y_0=f\!\left(-\frac{2}{5}\right)=-\frac{14}{5}$$
Вершина: $$\left(-\frac{2}{5};-\frac{14}{5}\right)$$.
При $$x=0$$ получаем $$y=-2$$, значит точка пересечения с осью $$Oy$$: $$\left(0;-2\right)$$.
Ось симметрии: $$x=-\frac{2}{5}$$.
д) $$y=-3x^2+5x-10$$
$$D=5^2-4\cdot(-3)\cdot(-10)=25-120=-95<0$$
Точек пересечения с осью $$Ox$$ нет.
$$x_0=-\frac{5}{2\cdot(-3)}=\frac{5}{6}, \qquad y_0=f\!\left(\frac{5}{6}\right)=-\frac{95}{12}$$
Вершина: $$\left(\frac{5}{6};-\frac{95}{12}\right)$$.
При $$x=0$$ получаем $$y=-10$$, значит точка пересечения с осью $$Oy$$: $$\left(0;-10\right)$$.
Ось симметрии: $$x=\frac{5}{6}$$.
е) $$y=-10x^2-x+3$$
$$D=(-1)^2-4\cdot(-10)\cdot 3=1+120=121$$
$$x_{1,2}=\frac{1\pm 11}{-20}$$
$$x_1=\frac{1-11}{-20}=\frac{1}{2}, \qquad x_2=\frac{1+11}{-20}=-\frac{3}{5}$$
Точки пересечения с осью $$Ox$$: $$\left(\frac{1}{2};0\right)$$ и $$\left(-\frac{3}{5};0\right)$$.
$$x_0=-\frac{-1}{2\cdot(-10)}=-\frac{1}{20}, \qquad y_0=f\!\left(-\frac{1}{20}\right)=\frac{121}{40}$$
Вершина: $$\left(-\frac{1}{20};\frac{121}{40}\right)$$.
При $$x=0$$ получаем $$y=3$$, значит точка пересечения с осью $$Oy$$: $$\left(0;3\right)$$.
Ось симметрии: $$x=-\frac{1}{20}$$.
Ответ
а) вершина $$\left(\frac{3}{2};\frac{11}{4}\right)$$, ось симметрии $$x=\frac{3}{2}$$, с $$Ox$$ не пересекается, с $$Oy$$: $$\left(0;5\right)$$;
б) вершина $$\left(-\frac{7}{2};-\frac{81}{4}\right)$$, ось симметрии $$x=-\frac{7}{2}$$, с $$Ox$$: $$(-8;0)$$ и $$\left(1;0\right)$$, с $$Oy$$: $$\left(0;-8\right)$$;
в) вершина $$\left(\frac{1}{4};\frac{7}{8}\right)$$, ось симметрии $$x=\frac{1}{4}$$, с $$Ox$$ не пересекается, с $$Oy$$: $$\left(0;1\right)$$;
г) вершина $$\left(-\frac{2}{5};-\frac{14}{5}\right)$$, ось симметрии $$x=-\frac{2}{5}$$, с $$Ox$$: $$\left(\frac{-2-\sqrt{14}}{5};0\right)$$ и $$\left(\frac{-2+\sqrt{14}}{5};0\right)$$, с $$Oy$$: $$\left(0;-2\right)$$;
д) вершина $$\left(\frac{5}{6};-\frac{95}{12}\right)$$, ось симметрии $$x=\frac{5}{6}$$, с $$Ox$$ не пересекается, с $$Oy$$: $$\left(0;-10\right)$$;
е) вершина $$\left(-\frac{1}{20};\frac{121}{40}\right)$$, ось симметрии $$x=-\frac{1}{20}$$, с $$Ox$$: $$\left(\frac{1}{2};0\right)$$ и $$\left(-\frac{3}{5};0\right)$$, с $$Oy$$: $$\left(0;3\right)$$.
