Упр.467 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

а) Какова область определения каждой из этих функций?
б) Сравните значения функций при одинаковых значениях аргумента х.
в) Как можно получить график функции у = х2 + 1 из графика функции у = х2?
г) Укажите координаты вершин заданных парабол.
д) При каких значениях аргумента значение каждой из функций равно нулю?
е) При каких значениях у графики функций пересекают ось Oу?
ж) Постройте графики данных функций.

Рассмотрим функции $$y=x^2$$ и $$y=x^2+1$$.

1. а) Область определения обеих функций:

   $$D(y=x^2)=(-\infty;+\infty), \qquad D(y=x^2+1)=(-\infty;+\infty).$$

2. б) При одинаковых значениях аргумента $$x$$ значения второй функции на 1 больше:

   $$x^2+1>x^2.$$

   Например, при $$x=0$$: $$y=0$$ и $$y=1$$, при $$x=2$$: $$y=4$$ и $$y=5$$.

3. в) График функции $$y=x^2+1$$ получается из графика $$y=x^2$$ сдвигом вверх на 1 единицу вдоль оси $$Oy$$.

4. г) Вершины парабол:

   $$y=x^2 \text{ — } (0;0), \qquad y=x^2+1 \text{ — } (0;1).$$

5. д) Найдём, при каких $$x$$ значение функции равно нулю:

   $$x^2=0 \Rightarrow x=0.$$

   $$x^2+1=0 \Rightarrow x^2=-1,$$

   действительных решений нет.

6. е) Пересечение с осью $$Oy$$ происходит при $$x=0$$:

   для $$y=x^2$$ получаем $$y=0$$, точка пересечения $$ (0;0) $$;

   для $$y=x^2+1$$ получаем $$y=1$$, точка пересечения $$ (0;1) $$.

7. ж) Для построения графиков отметим несколько точек:

   $$y=x^2: \; (0;0), \; (\pm1;1), \; (\pm2;4).$$

   $$y=x^2+1: \; (0;1), \; (\pm1;2), \; (\pm2;5).$$

   Обе параболы направлены ветвями вверх, причём график $$y=x^2+1$$ расположен на 1 единицу выше графика $$y=x^2$$.

Ответ

а) $$(-\infty;+\infty)$$ и $$(-\infty;+\infty)$$;
б) $$x^2+1>x^2$$ при любом $$x$$;
в) сдвиг вверх на 1;
г) $$ (0;0) $$ и $$ (0;1) $$;
д) для $$y=x^2$$: $$x=0$$, для $$y=x^2+1$$: корней нет;
е) $$ (0;0) $$ и $$ (0;1) $$.