Упр.460 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)
Дана парабола $$y=(x-2)^2$$.
а) Определите координаты вершины параболы.
б) Запишите уравнение оси симметрии параболы.
в) Какова область определения функции?
г) Какова область значений функции?
д) Постройте график функции.
е) Как изменяется $$y$$, если аргумент $$x$$ изменяется от $$-\infty$$ до $$2$$? От $$2$$ до $$+\infty$$?
ж) При каком $$x$$ функция принимает наименьшее значение? Принимает ли функция наибольшее значение?
з) В каких точках график функции пересекает ось $$Ox$$? Ось $$Oy$$?
Рассмотрим функцию $$y=(x-2)^2.$$ Это парабола, ветви которой направлены вверх.
а) Вершина параболы находится в точке $$(2;0).$$
б) Ось симметрии параболы: $$x=2.$$
в) Область определения: $$(-\infty;+\infty).$$
г) Так как квадрат любого числа неотрицателен, то $$y\ge 0.$$ Следовательно, область значений функции: $$[0;+\infty).$$
д) Для построения графика отметим несколько точек:
$$x=2 \Rightarrow y=0,$$
$$x=1 \Rightarrow y=1,$$
$$x=3 \Rightarrow y=1,$$
$$x=0 \Rightarrow y=4,$$
$$x=4 \Rightarrow y=4.$$
Соединим эти точки плавной линией — получим параболу с вершиной в точке $$(2;0).$$
е) При изменении $$x$$ от $$-\infty$$ до $$2$$ значения $$y$$ убывают, а при изменении $$x$$ от $$2$$ до $$+\infty$$ значения $$y$$ возрастают.
ж) Наименьшее значение функция принимает при $$x=2,$$ и оно равно $$0.$$ Наибольшего значения функция не имеет.
з) Найдём точки пересечения с осями координат.
С осью $$Ox$$: $$y=0,$$ значит
$$(x-2)^2=0 \\ x=2$$
Точка пересечения: $$(2;0).$$
С осью $$Oy$$: $$x=0,$$ тогда
$$y=(0-2)^2=4$$
Точка пересечения: $$(0;4).$$
Ответ
а) $$(2;0)$$; б) $$x=2$$; в) $$(-\infty;+\infty)$$; г) $$[0;+\infty)$$; е) при $$x\in(-\infty;2]$$ функция убывает, при $$x\in[2;+\infty)$$ возрастает; ж) минимум при $$x=2$$, $$y_{\min}=0$$, наибольшего значения нет; з) с осью $$Ox$$ — $$(2;0),$$ с осью $$Oy$$ — $$(0;4).$$
