Упр.353 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

б) х4 — х3 — х2 — х — 2 = 0;
в) х4 — х3 — 7х2 + х + 6 = 0;
г) х4 + х3 — 7х2 — х + 6 = 0;
д) х4 + 2×3 — 3х2 — 8х — 4 = 0;
е) х4 + 4х3 + 3х2 — 4х — 4 = 0.

1. а) $$x^4+x^3-x^2+x-2=0$$

   Подбором корней получаем разложение:

   $$x^4+x^3-x^2+x-2=(x-1)(x+2)(x^2+1).$$

   Тогда

   $$ (x-1)(x+2)(x^2+1)=0. $$

   Отсюда $$x=1$$ или $$x=-2$$, а уравнение $$x^2+1=0$$ действительных корней не имеет.

2. б) $$x^4-x^3-x^2-x-2=0$$

   Разложим на множители:

   $$x^4-x^3-x^2-x-2=(x+1)(x-2)(x^2+1).$$

   Тогда

   $$ (x+1)(x-2)(x^2+1)=0. $$

   Следовательно, $$x=-1$$ или $$x=2$$.

3. в) $$x^4-x^3-7x^2+x+6=0$$

   Имеем:

   $$x^4-x^3-7x^2+x+6=(x-1)(x+1)(x^2-x-6).$$

   Далее

   $$x^2-x-6=(x-3)(x+2).$$

   Значит,

   $$ (x-1)(x+1)(x-3)(x+2)=0. $$

   Отсюда $$x=1,\,-1,\,3,\,-2$$.

4. г) $$x^4+x^3-7x^2-x+6=0$$

   Разложение на множители:

   $$x^4+x^3-7x^2-x+6=(x-1)(x+1)(x-2)(x+3).$$

   Следовательно,

   $$x=1,\,-1,\,2,\,-3.$$

5. д) $$x^4+2x^3-3x^2-8x-4=0$$

   Получаем:

   $$x^4+2x^3-3x^2-8x-4=(x+1)^2(x^2-4).$$

   Так как $$x^2-4=(x-2)(x+2)$$, то

   $$ (x+1)^2(x-2)(x+2)=0. $$

   Отсюда $$x=-1$$ или $$x=2$$, или $$x=-2$$.

6. е) $$x^4+4x^3+3x^2-4x-4=0$$

   Разложим:

   $$x^4+4x^3+3x^2-4x-4=(x-1)(x+1)(x+2)^2.$$

   Тогда

   $$ (x-1)(x+1)(x+2)^2=0. $$

   Следовательно, $$x=1,\,-1,\,-2.$$

Ответ

а) $$x=-2,\;1$$; б) $$x=-1,\;2$$; в) $$x=-2,\,-1,\;1,\;3$$; г) $$x=-3,\,-1,\;1,\;2$$; д) $$x=-2,\,-1,\;2$$; е) $$x=-2,\,-1,\;1$$.