Упр.352 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Задача

352. а) х3 + 2х2 — х — 2 = 0;
б) x3+6×2+11x+6=0;
в) х3 — 2х2 — 2х — 3 = 0;
г) x3+x2-x+2=0;
д) х3 + 2х2 — 7х + 4 = 0;
е) x3-5×2+8x-4=0.

Подробный ответ

а) $$x^3+2x^2-x-2=0$$
Сгруппируем слагаемые:
$$x^2(x+2)-1(x+2)=0$$
$$ (x^2-1)(x+2)=0 $$
$$ (x-1)(x+1)(x+2)=0 $$
Отсюда:
$$x=1,\; x=-1,\; x=-2.$$
б) $$x^3+6x^2+11x+6=0$$
Разложим на множители:
$$x^3+6x^2+11x+6=(x+1)(x+2)(x+3)$$
Тогда
$$ (x+1)(x+2)(x+3)=0 $$
$$x=-1,\; x=-2,\; x=-3.$$
в) $$x^3-2x^2-2x-3=0$$
Проверим корень $$x=3$$:
$$3^3-2\cdot 3^2-2\cdot 3-3=27-18-6-3=0.$$
Значит,
$$x^3-2x^2-2x-3=(x-3)(x^2+x+1).$$
Решаем квадратное уравнение:
$$x^2+x+1=0,$$
$$D=1-4=-3<0.$$
Действительных корней нет, поэтому
$$x=3.$$
г) $$x^3+x^2-x+2=0$$
Проверим корень $$x=-2$$:
$$(-2)^3+(-2)^2-(-2)+2=-8+4+2+2=0.$$
Тогда
$$x^3+x^2-x+2=(x+2)(x^2-x+1).$$
Решаем:
$$x^2-x+1=0,$$
$$D=1-4=-3<0.$$
Следовательно,
$$x=-2.$$
д) $$x^3+2x^2-7x+4=0$$
Проверим корень $$x=1$$:
$$1^3+2\cdot 1^2-7\cdot 1+4=1+2-7+4=0.$$
Значит,
$$x^3+2x^2-7x+4=(x-1)(x^2+3x-4).$$
Разложим квадратный трёхчлен:
$$x^2+3x-4=(x-1)(x+4).$$
Тогда
$$ (x-1)^2(x+4)=0 $$
Отсюда:
$$x=1,\; x=-4.$$
е) $$x^3-5x^2+8x-4=0$$
Проверим корень $$x=1$$:
$$1^3-5\cdot 1^2+8\cdot 1-4=1-5+8-4=0.$$
Тогда
$$x^3-5x^2+8x-4=(x-1)(x^2-4x+4).$$
$$x^2-4x+4=(x-2)^2,$$
поэтому
$$ (x-1)(x-2)^2=0 $$
Отсюда:
$$x=1,\; x=2.$$