Упр.348 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)
а) $$|x-2|=2x-1$$; б) $$|x+3|=3x-1$$; в) $$|x^2-4x+1|=2x-4$$; г) $$|x^2-6x+6|=2x-6$$; д) $$|x^2-5x+5|=x^2-6x+7$$; е) $$|x^2-x-1|=x^2-2x-1$$; ж) $$|x^2-4x+2|=x^2-8x+14$$; з) $$|x^2-4|=x^2-6x+8$$; и) $$|x^2-8x+11|=x^2-10x+25$$; к) $$|x^2-6x+5|=x^2-5$$.
а) $$|x-2|=2x-1$$
Правая часть неотрицательна: $$2x-1\ge 0,\; x\ge \frac12.$$
Возведём в квадрат:
$$(x-2)^2=(2x-1)^2$$
$$x^2-4x+4=4x^2-4x+1$$
$$3x^2-3=0,\quad x^2=1$$
$$x=-1,\; x=1.$$
Проверка: $$x=-1$$ не подходит, $$x=1$$ подходит.
б) $$|x+3|=3x-1$$
$$3x-1\ge 0,\; x\ge \frac13.$$
$$(x+3)^2=(3x-1)^2$$
$$x^2+6x+9=9x^2-6x+1$$
$$8x^2-12x-8=0,\quad 2x^2-3x-2=0$$
$$D=25,\quad x_1=-\frac12,\; x_2=2$$
По ОДЗ подходит только $$x=2$$.
в) $$|x^2-4x+1|=2x-4$$
$$2x-4\ge 0,\; x\ge 2.$$
$$(x^2-4x+1)^2=(2x-4)^2$$
$$\bigl(x^2-4x+1-(2x-4)\bigr)\bigl(x^2-4x+1+(2x-4)\bigr)=0$$
$$(x^2-6x+5)(x^2-2x-3)=0$$
$$x^2-6x+5=0 \Rightarrow x=1,\;5$$
$$x^2-2x-3=0 \Rightarrow x=-1,\;3$$
С учётом $$x\ge 2$$ получаем $$x=3,\;5$$.
г) $$|x^2-6x+6|=2x-6$$
$$2x-6\ge 0,\; x\ge 3.$$
$$(x^2-6x+6)^2=(2x-6)^2$$
$$\bigl(x^2-6x+6-(2x-6)\bigr)\bigl(x^2-6x+6+(2x-6)\bigr)=0$$
$$(x^2-8x+12)(x^2-4x)=0$$
$$x(x-4)(x^2-8x+12)=0$$
$$x=0,\;4,\;2,\;6$$
По ОДЗ подходит $$x=4,\;6$$.
д) $$|x^2-5x+5|=x^2-6x+7$$
$$(x^2-5x+5)^2=(x^2-6x+7)^2$$
$$\bigl((x^2-5x+5)-(x^2-6x+7)\bigr)\bigl((x^2-5x+5)+(x^2-6x+7)\bigr)=0$$
$$(x-2)(2x^2-11x+12)=0$$
$$x=2$$
$$2x^2-11x+12=0,\quad D=25$$
$$x_1=\frac32,\; x_2=4$$
Проверка показывает, что подходят $$x=\frac32$$ и $$x=4$$.
е) $$|x^2-x-1|=x^2-2x-1$$
$$(x^2-x-1)^2=(x^2-2x-1)^2$$
$$\bigl((x^2-x-1)-(x^2-2x-1)\bigr)\bigl((x^2-x-1)+(x^2-2x-1)\bigr)=0$$
$$x(2x^2-3x-2)=0$$
$$x=0$$
$$2x^2-3x-2=0,\quad D=25$$
$$x_1=-\frac12,\; x_2=2$$
Проверка: подходит только $$x=-\frac12$$.
ж) $$|x^2-4x+2|=x^2-8x+14$$
$$(x^2-4x+2)^2=(x^2-8x+14)^2$$
$$\bigl((x^2-4x+2)-(x^2-8x+14)\bigr)\bigl((x^2-4x+2)+(x^2-8x+14)\bigr)=0$$
$$(4x-12)(2x^2-12x+16)=0$$
$$4(x-3)(x^2-6x+8)=0$$
$$x=3,\; x^2-6x+8=0$$
$$x^2-6x+8=(x-2)(x-4)=0$$
Получаем $$x=2,\;3,\;4$$.
з) $$|x^2-4|=x^2-6x+8$$
$$(x^2-4)^2=(x^2-6x+8)^2$$
$$\bigl((x^2-4)-(x^2-6x+8)\bigr)\bigl((x^2-4)+(x^2-6x+8)\bigr)=0$$
$$(6x-12)(2x^2-6x+4)=0$$
$$12(x-2)(x^2-3x+2)=0$$
$$x=2,\quad x^2-3x+2=(x-1)(x-2)=0$$
Получаем $$x=1,\;2$$.
и) $$|x^2-8x+11|=x^2-10x+25$$
$$(x^2-8x+11)^2=(x^2-10x+25)^2$$
$$\bigl((x^2-8x+11)-(x^2-10x+25)\bigr)\bigl((x^2-8x+11)+(x^2-10x+25)\bigr)=0$$
$$(2x-14)(2x^2-18x+36)=0$$
$$4(x-7)(x^2-9x+18)=0$$
$$x=7,\quad x^2-9x+18=(x-3)(x-6)=0$$
Получаем $$x=3,\;6,\;7$$.
к) $$|x^2-6x+5|=x^2-5$$
$$(x^2-6x+5)^2=(x^2-5)^2$$
$$\bigl((x^2-6x+5)-(x^2-5)\bigr)\bigl((x^2-6x+5)+(x^2-5)\bigr)=0$$
$$(-6x+10)(2x^2-6x)=0$$
$$4x(3x-5)(x-3)=0$$
$$x=0,\; \frac53,\; 3$$
Проверка показывает, что подходит только $$x=3$$.
Ответ
а) $$x=1$$; б) $$x=2$$; в) $$x=3,\,5$$; г) $$x=4,\,6$$; д) $$x=\frac32,\,4$$; е) $$x=-\frac12$$; ж) $$x=2,\,3,\,4$$; з) $$x=1,\,2$$; и) $$x=3,\,6,\,7$$; к) $$x=3$$.
