Упр.346 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 8 класс, Просвещение: 346. Решите уравнения из заданий 252—254 (см. с. 85) переходом к уравнению-следствию.
252.
а) $$|x^2-5x+2|=2$$
$$\left(x^2-5x+2\right)^2=2^2$$
$$\left(x^2-5x+2\right)^2-4=0$$
$$\left(x^2-5x\right)\left(x^2-5x+4\right)=0$$
$$x(x-5)\left(x^2-5x+4\right)=0$$
$$x=0,\ x=5$$
$$x^2-5x+4=0$$
$$D=25-16=9,\ \sqrt{D}=3$$
$$x_1=\frac{5-3}{2}=1,\quad x_2=\frac{5+3}{2}=4$$Ответ: $$x=0,\ x=1,\ x=4,\ x=5.$$
б) $$|x^2-4x-1|=4$$
$$\left(x^2-4x-1\right)^2=4^2$$
$$\left(x^2-4x-1\right)^2-16=0$$
$$\left(x^2-4x-5\right)\left(x^2-4x+3\right)=0$$
$$x^2-4x-5=0,\quad x^2-4x+3=0$$
$$D_1=16+20=36,\ \sqrt{D_1}=6$$
$$x_1=\frac{4-6}{2}=-1,\quad x_2=\frac{4+6}{2}=5$$
$$D_2=16-12=4,\ \sqrt{D_2}=2$$
$$x_1=\frac{4-2}{2}=1,\quad x_2=\frac{4+2}{2}=3$$Ответ: $$x=-1,\ x=1,\ x=3,\ x=5.$$
в) $$|x^2-4x+1|=|x^2-3x-10|$$
$$\left(x^2-4x+1\right)^2-\left(x^2-3x-10\right)^2=0$$
$$\left(x^2-4x+1-x^2+3x+10\right)\left(x^2-4x+1+x^2-3x-10\right)=0$$
$$(-x+11)(2x^2-7x-9)=0$$
$$-x+11=0 \Rightarrow x=11$$
$$2x^2-7x-9=0$$
$$D=49+72=121,\ \sqrt{D}=11$$
$$x_1=\frac{7-11}{4}=-1,\quad x_2=\frac{7+11}{4}=\frac{9}{2}=4{,}5$$Ответ: $$x=-1,\ x=4{,}5,\ x=11.$$
г) $$|x^2-7x+2|=|x^2-2x-13|$$
$$\left(x^2-7x+2\right)^2-\left(x^2-2x-13\right)^2=0$$
$$\left(x^2-7x+2-x^2+2x+13\right)\left(x^2-7x+2+x^2-2x-13\right)=0$$
$$(-5x+15)(2x^2-9x-11)=0$$
$$-5x+15=0 \Rightarrow x=3$$
$$2x^2-9x-11=0$$
$$D=81+88=169,\ \sqrt{D}=13$$
$$x_1=\frac{9-13}{4}=-1,\quad x_2=\frac{9+13}{4}=\frac{11}{2}=5{,}5$$Ответ: $$x=-1,\ x=3,\ x=5{,}5.$$
253.
а) $$\sqrt{x^2-2x-3}=0$$
$$x^2-2x-3=0$$
$$D=4+12=16,\ \sqrt{D}=4$$
$$x_1=\frac{2-4}{2}=-1,\quad x_2=\frac{2+4}{2}=3$$Ответ: $$x=-1,\ x=3.$$
б) $$\sqrt{x^2-6x+9}=0$$
$$x^2-6x+9=0$$
$$D=36-36=0$$
$$x=\frac{6}{2}=3$$Ответ: $$x=3.$$
в) $$\sqrt{4x^2+4x+1}=0$$
$$4x^2+4x+1=0$$
$$D=16-16=0$$
$$x=\frac{-4}{2\cdot 4}=-\frac12=-0{,}5$$Ответ: $$x=-0{,}5.$$
г) $$\sqrt{2x^2-3x+9}=0$$
$$2x^2-3x+9=0$$
$$D=9-72=-63<0$$Ответ: корней нет.
254.
а) $$\sqrt{x^2+3x-3}=1$$
$$x^2+3x-3=1$$
$$x^2+3x-4=0$$
$$D=9+16=25,\ \sqrt{D}=5$$
$$x_1=\frac{-3-5}{2}=-4,\quad x_2=\frac{-3+5}{2}=1$$Ответ: $$x=-4,\ x=1.$$
б) $$\sqrt{x^2-4x-1}=2$$
$$x^2-4x-1=4$$
$$x^2-4x-5=0$$
$$D=16+20=36,\ \sqrt{D}=6$$
$$x_1=\frac{4-6}{2}=-1,\quad x_2=\frac{4+6}{2}=5$$Ответ: $$x=-1,\ x=5.$$
в) $$\sqrt{x^2-6x+18}=3$$
$$x^2-6x+18=9$$
$$x^2-6x+9=0$$
$$D=36-36=0$$
$$x=\frac{6}{2}=3$$Ответ: $$x=3.$$
г) $$\sqrt{x^2+5x+22}=4$$
$$x^2+5x+22=16$$
$$x^2+5x+6=0$$
$$D=25-24=1$$
$$x_1=\frac{-5-1}{2}=-3,\quad x_2=\frac{-5+1}{2}=-2$$Ответ: $$x=-3,\ x=-2.$$
д) $$\sqrt{x^2-6x+21}=-4$$
Корней нет, так как квадратный корень не может быть отрицательным числом.
е) $$\sqrt{x^2-10x-2}=-3$$
Корней нет, так как квадратный корень не может быть отрицательным числом.
