Упр.345 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Заменим дроби разностями:

$$\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}=\frac{x+1-x}{x(x+1)}=\frac{1}{x(x+1)},$$
$$\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}=\frac{x+2-(x+1)}{(x+1)(x+2)}=\frac{1}{(x+1)(x+2)}.$$

То же самое проделаем в пунктах б) и в).

а)

$$\frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{(x+1)(x+2)}=\frac14,$$
$$x\ne 0,\quad x\ne -1,\quad x\ne -2.$$

$$\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}-\frac14=0$$
$$\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2}-\frac14=0$$
$$\left|\cdot 4x(x+2)\right.$$
$$4(x+2)-4x-x(x+2)=0$$
$$4x+8-4x-x^2-2x=0$$
$$x^2+2x-8=0$$
$$D=4+32=36,\quad \sqrt{D}=6.$$
$$x_{1,2}=\frac{-2\pm 6}{2}$$
$$x_1=-4,\quad x_2=2.$$

Ответ: $$x=-4,\ x=2.$$

б)

$$\frac{1}{(x-3)(x-2)}+\frac{1}{(x-2)(x-1)}=-2,$$
$$x\ne 3,\quad x\ne 2,\quad x\ne 1.$$

$$\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-1}+2=0$$
$$\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-1}+2=0$$
$$\left|\cdot (x-3)(x-1)\right.$$
$$x-1-(x-3)+2(x-3)(x-1)=0$$
$$2+2(x^2-4x+3)=0$$
$$2x^2-8x+8=0$$
$$x^2-4x+4=0$$
$$(x-2)^2=0,\quad x=2.$$

Но $$x=2$$ не подходит, так как это запрещённое значение.

Ответ: корней нет.

в)

$$\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x+3)}+\frac{1}{(x+3)(x+4)}=-\frac32,$$
$$x\ne -1,\quad x\ne -2,\quad x\ne -3,\quad x\ne -4.$$

$$\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+4}+\frac32=0$$
$$\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+4}+\frac32=0$$
$$\left|\cdot 2(x+1)(x+4)\right.$$
$$2(x+4)-2(x+1)+3(x+1)(x+4)=0$$
$$2x+8-2x-2+3(x^2+5x+4)=0$$
$$3x^2+15x+18=0$$
$$x^2+5x+6=0$$
$$(x+2)(x+3)=0$$
$$x=-2 \text{ или } x=-3.$$

Оба значения не подходят, так как являются запрещёнными.

Ответ: корней нет.