Упр.342 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 8 класс, Просвещение: 342

Подробный ответ

а)
Пусть $$x^2+5x=y.$$ Тогда
$$\frac{5}{y}+\frac{6}{y+2}=1.$$
Умножим на $$y(y+2)$$:
$$ 5(y+2)+6y-y(y+2)=0 $$
$$ 5y+10+6y-y^2-2y=0 $$
$$ y^2-9y-10=0. $$
$$ D=81+40=121,\quad \sqrt{D}=11. $$
$$ y_1=\frac{9-11}{2}=-1,\qquad y_2=\frac{9+11}{2}=10. $$
Подставим:
1) $$x^2+5x=-1$$
$$ x^2+5x+1=0, $$
$$D=25-4=21,$$
$$x=\frac{-5\pm\sqrt{21}}{2}.$$
2) $$x^2+5x=10$$
$$ x^2+5x-10=0, $$
$$D=25+40=65,$$
$$x=\frac{-5\pm\sqrt{65}}{2}.$$
б)
Пусть $$x^2+7x+6=y.$$ Тогда
$$\frac{9}{y+4}+\frac{7}{y}-1=0.$$
Умножим на $$y(y+4)$$:
$$ 9y+7(y+4)-y(y+4)=0 $$
$$ 9y+7y+28-y^2-4y=0 $$
$$ y^2-12y-28=0. $$
$$ D=144+112=256,\quad \sqrt{D}=16. $$
$$ y_1=\frac{12-16}{2}=-2,\qquad y_2=\frac{12+16}{2}=14. $$
Подставим:
1) $$x^2+7x+6=-2$$
$$ x^2+7x+8=0, $$
$$D=49-32=17,$$
$$x=\frac{-7\pm\sqrt{17}}{2}.$$
2) $$x^2+7x+6=14$$
$$ x^2+7x-8=0, $$
$$D=49+32=81,$$
$$x_1=\frac{-7-9}{2}=-8,\qquad x_2=\frac{-7+9}{2}=1.$$
в)
Пусть $$x^2-x=y.$$ Тогда
$$\frac{y+3}{y+1}+\frac{y+4}{y+2}=5.$$
Умножим на $$ (y+1)(y+2) $$:
$$ (y+3)(y+2)+(y+4)(y+1)-5(y+1)(y+2)=0 $$
$$ y^2+5y+6+y^2+5y+4-5(y^2+3y+2)=0 $$
$$ -3y^2-5y=0 $$
$$ -y(3y+5)=0. $$
$$ y=0 \quad \text{или} \quad y=-\frac{5}{3}. $$
Подставим:
1) $$x^2-x=0$$
$$ x(x-1)=0, $$
$$x=0 \quad \text{или} \quad x=1.$$
2) $$x^2-x=-\frac{5}{3}$$
$$ 3x^2-3x+5=0, $$
$$D=9-60<0,$$ корней нет.
г)
Пусть $$x^2+x=y.$$ Тогда
$$\frac{y+2}{y+1}+\frac{y+6}{y+3}=4.$$
Умножим на $$ (y+1)(y+3) $$:
$$ (y+2)(y+3)+(y+6)(y+1)-4(y+1)(y+3)=0 $$
$$ y^2+5y+6+y^2+7y+6-4(y^2+4y+3)=0 $$
$$ -2y^2-4y=0 $$
$$ -2y(y+2)=0. $$
$$ y=0 \quad \text{или} \quad y=-2. $$
Подставим:
1) $$x^2+x=0$$
$$ x(x+1)=0, $$
$$x=0 \quad \text{или} \quad x=-1.$$
2) $$x^2+x=-2$$
$$ x^2+x+2=0, $$
$$D=1-8<0,$$ корней нет.