Упр.341 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Задача

б) х(х + 2)(х + 4)(х + 6) = 105;
в) х2 — 9х + 13 + 1/(x2-9x+15) = 0;
г) x2-10x+15 + 1/(x2-10x+17) =0.

Подробный ответ

а) $$x(x+2)(x+3)(x+5)=72$$
Сгруппируем множители:
$$\bigl(x^2+5x\bigr)\bigl(x^2+5x+6\bigr)=72$$
Пусть $$x^2+5x=y$$. Тогда
$$y(y+6)=72$$
$$y^2+6y-72=0$$
$$D=36+288=324,\quad \sqrt{D}=18$$
$$y_1=\frac{-6-18}{2}=-12,\quad y_2=\frac{-6+18}{2}=6$$
1) $$x^2+5x=-12$$
$$x^2+5x+12=0$$
$$D=25-48<0$$
Корней нет.
2) $$x^2+5x=6$$
$$x^2+5x-6=0$$
$$D=25+24=49,\quad \sqrt{D}=7$$
$$x_1=\frac{-5-7}{2}=-6,\quad x_2=\frac{-5+7}{2}=1$$
б) $$x(x+2)(x+4)(x+6)=105$$
Сгруппируем множители:
$$\bigl(x^2+6x\bigr)\bigl(x^2+6x+8\bigr)=105$$
Пусть $$x^2+6x=y$$. Тогда
$$y(y+8)=105$$
$$y^2+8y-105=0$$
$$D=64+420=484,\quad \sqrt{D}=22$$
$$y_1=\frac{-8-22}{2}=-15,\quad y_2=\frac{-8+22}{2}=7$$
1) $$x^2+6x=-15$$
$$x^2+6x+15=0$$
$$D=36-60<0$$
Корней нет.
2) $$x^2+6x=7$$
$$x^2+6x-7=0$$
$$D=36+28=64,\quad \sqrt{D}=8$$
$$x_1=\frac{-6-8}{2}=-7,\quad x_2=\frac{-6+8}{2}=1$$
в) $$x^2-9x+13+\frac{1}{x^2-9x+15}=0$$
Пусть $$x^2-9x+13=y$$. Тогда $$x^2-9x+15=y+2$$, и получаем
$$y+\frac{1}{y+2}=0$$
$$y(y+2)+1=0$$
$$y^2+2y+1=0$$
$$\bigl(y+1\bigr)^2=0,\quad y=-1$$
Тогда
$$x^2-9x+13=-1$$
$$x^2-9x+14=0$$
$$D=81-56=25,\quad \sqrt{D}=5$$
$$x_1=\frac{9-5}{2}=2,\quad x_2=\frac{9+5}{2}=7$$
г) $$x^2-10x+15+\frac{1}{x^2-10x+17}=0$$
Пусть $$x^2-10x+15=y$$. Тогда $$x^2-10x+17=y+2$$, и
$$y+\frac{1}{y+2}=0$$
$$y(y+2)+1=0$$
$$y^2+2y+1=0$$
$$\bigl(y+1\bigr)^2=0,\quad y=-1$$
Следовательно,
$$x^2-10x+15=-1$$
$$x^2-10x+16=0$$
$$D=100-64=36,\quad \sqrt{D}=6$$
$$x_1=\frac{10-6}{2}=2,\quad x_2=\frac{10+6}{2}=8$$