Упр.340 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 8 класс, Просвещение: 340
а) Введём замену:
$$y=\frac{2x+1}{x}, \quad x\ne 0.$$
Тогда получаем уравнение
$$y^2-2y-3=0.$$
Решим его:
$$D=4+12=16,$$
$$y_{1,2}=\frac{2\pm 4}{2},$$
откуда $$y_1=-1,\quad y_2=3.$$
Возвращаемся к $$x$$:
$$\frac{2x+1}{x}=-1 \Rightarrow 2x+1=-x \Rightarrow 3x=-1 \Rightarrow x=-\frac13,$$
$$\frac{2x+1}{x}=3 \Rightarrow 2x+1=3x \Rightarrow x=1.$$
б) Введём замену:
$$y=\frac{x}{2x+1}, \quad x\ne 0,\quad x\ne -\frac12.$$
Тогда
$$y+\frac1y=2.$$
Умножим на $$y$$:
$$y^2-2y+1=0,$$
$$D=0,\quad y=1.$$
Тогда
$$\frac{x}{2x+1}=1 \Rightarrow x=2x+1 \Rightarrow x=-1.$$
в) Введём замену:
$$y=2x^2-3x+2.$$
Тогда
$$y-\frac{6}{y-1}=0 \Rightarrow y(y-1)-6=0,$$
$$y^2-y-6=0.$$
Решаем:
$$D=1+24=25,$$
$$y_{1,2}=\frac{1\pm 5}{2},$$
то есть $$y_1=-2,\quad y_2=3.$$
1) $$2x^2-3x+2=-2 \Rightarrow 2x^2-3x+4=0,$$
$$D=9-32<0,$$
корней нет.
2) $$2x^2-3x+2=3 \Rightarrow 2x^2-3x-1=0,$$
$$D=9+8=17,$$
$$x_{1,2}=\frac{3\pm \sqrt{17}}{4}.$$
г) Введём замену:
$$y=x^4+3x^2.$$
Тогда
$$y=\frac1{y+2} \Rightarrow y(y+2)-1=0,$$
$$y^2+2y-1=0.$$
Решаем:
$$D=4+4=8,$$
$$y_{1,2}=\frac{-2\pm 2\sqrt2}{2}=-1\pm \sqrt2.$$
1) $$x^4+3x^2=-1-\sqrt2,$$
левая часть неотрицательна, а правая отрицательна, значит корней нет.
2) $$x^4+3x^2=-1+\sqrt2,$$
обозначим $$a=x^2$$. Тогда
$$a^2+3a+1-\sqrt2=0.$$
$$D=9-4(1-\sqrt2)=5+4\sqrt2,$$
$$a_{1,2}=\frac{-3\pm \sqrt{5+4\sqrt2}}{2}.$$
Подходит только неотрицательное значение:
$$x^2=\frac{-3+\sqrt{5+4\sqrt2}}{2}.$$
д) Введём замену:
$$y=\frac{x^2+x-5}{x}, \quad x\ne 0.$$
Тогда
$$y+\frac{3}{y}+4=0.$$
Умножим на $$y$$:
$$y^2+4y+3=0.$$
$$D=16-12=4,$$
$$y_1=-3,\quad y_2=-1.$$
1) $$\frac{x^2+x-5}{x}=-3 \Rightarrow x^2+4x-5=0,$$
$$D=36,\quad x_1=-5,\quad x_2=1.$$
2) $$\frac{x^2+x-5}{x}=-1 \Rightarrow x^2+2x-5=0,$$
$$D=24,\quad x_{1,2}=-1\pm \sqrt6.$$
е) Введём замену:
$$y=\frac{x}{x-1}, \quad x\ne 0,\quad x\ne 1.$$
Тогда
$$y+\frac1y=\frac{13}{6}.$$
Умножим на $$6y$$:
$$6y^2-13y+6=0.$$
$$D=25,$$
$$y_1=\frac23,\quad y_2=\frac32.$$
1) $$\frac{x}{x-1}=\frac23 \Rightarrow 3x=2(x-1) \Rightarrow x=-2.$$
2) $$\frac{x}{x-1}=\frac32 \Rightarrow 2x=3(x-1) \Rightarrow x=3.$$
ж) Введём замену:
$$y=\frac{x}{10-x}, \quad x\ne 10.$$
Тогда
$$y+\frac1y=25.$$
Умножим на $$y$$:
$$y^2-25y+1=0.$$
$$D=625-4=621,$$
$$y_{1,2}=\frac{25\pm \sqrt{621}}{2}=\frac{25\pm 3\sqrt{69}}{2}.$$
1) $$\frac{x}{10-x}=\frac{25+3\sqrt{69}}{2} \Rightarrow x=\frac{45+5\sqrt{69}}{9}.$$
2) $$\frac{x}{10-x}=\frac{25-3\sqrt{69}}{2} \Rightarrow x=\frac{45-5\sqrt{69}}{9}.$$
Ответ
а) $$x=-\frac13,\ 1$$; б) $$x=-1$$; в) $$x=\frac{3\pm \sqrt{17}}{4}$$; г) $$x=\pm \sqrt{\frac{-3+\sqrt{5+4\sqrt2}}{2}}$$; д) $$x=-5,\ 1,\ -1\pm \sqrt6$$; е) $$x=-2,\ 3$$; ж) $$x=\frac{45\pm 5\sqrt{69}}{9}$$.
