Упр.339 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Задача

Решите уравнение (339—342):
а) $$(x+2)^2=2(x+2)+3$$;
б) $$(x^2+3x-25)^2-2(x^2+3x-25)=-7$$;
в) $$(x^4+x^2+1)(x^4+x^2+2)=12$$;
г) $$(x^2-5x+7)^2-2(x-2)(x-3)=1$$;
д) $$(x^2+5x-7)(2x^2+10x-11)+1=0$$.

Подробный ответ

а) Введём замену: $$y=x+2.$$ Тогда
$$y^2=2y+3$$
$$y^2-2y-3=0$$
$$D=4+12=16,$$
$$y_{1,2}=\frac{2\pm 4}{2}.$$
Получаем: $$y_1=-1,\quad y_2=3.$$
Тогда
$$x+2=-1 \Rightarrow x=-3,$$
$$x+2=3 \Rightarrow x=1.$$
б) Введём замену: $$y=x^2+3x-25.$$ Тогда
$$y^2-2y=-7$$
$$y^2-2y+7=0.$$
$$D=4-28=-24<0,$$
значит, корней нет.
в) Введём замену: $$y=x^4+x^2+1.$$ Тогда
$$y(y+1)=12$$
$$y^2+y-12=0.$$
$$D=1+48=49,$$
$$y_{1,2}=\frac{-1\pm 7}{2}.$$
Получаем: $$y_1=-4,\quad y_2=3.$$
Если $$y=-4,$$ то
$$x^4+x^2+1=-4 \Rightarrow x^4+x^2+5=0,$$
корней нет.
Если $$y=3,$$ то
$$x^4+x^2+1=3 \Rightarrow x^4+x^2-2=0.$$
Положим $$a=x^2.$$ Тогда
$$a^2+a-2=0$$
$$D=1+8=9,$$
$$a_{1,2}=\frac{-1\pm 3}{2}.$$
Получаем: $$a_1=-2,\quad a_2=1.$$
Так как $$x^2\ge 0,$$ то подходит только $$x^2=1,$$ откуда
$$x=\pm 1.$$
г) Заметим, что
$$(x-2)(x-3)=x^2-5x+6.$$
Введём замену: $$y=x^2-5x+6.$$ Тогда
$$(x^2-5x+7)^2-2(x-2)(x-3)=1$$
$$(y+1)^2-2y=1$$
$$y^2+2y+1-2y=1$$
$$y^2=0,$$ значит, $$y=0.$$
Тогда
$$x^2-5x+6=0$$
$$(x-2)(x-3)=0,$$
откуда $$x=2$$ или $$x=3.$$
д) Введём замену: $$y=x^2+5x-7.$$ Тогда
$$(x^2+5x-7)(2x^2+10x-11)+1=0$$
$$y(2y+3)+1=0$$
$$2y^2+3y+1=0.$$
$$D=9-8=1,$$
$$y_{1,2}=\frac{-3\pm 1}{4}.$$
Получаем: $$y_1=-1,\quad y_2=-\frac12.$$
1) Если $$x^2+5x-7=-1,$$ то
$$x^2+5x-6=0$$
$$D=25+24=49,$$
$$x_{1,2}=\frac{-5\pm 7}{2},$$
откуда $$x=-6$$ или $$x=1.$$
2) Если $$x^2+5x-7=-\frac12,$$ то
$$x^2+5x-\frac{13}{2}=0$$
$$D=25+26=51,$$
$$x_{1,2}=\frac{-5\pm \sqrt{51}}{2}.$$