Упр.332 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Задача

б) Автомашина должна была пройти 840 км. В середине пути водитель остановился на обед, а через час продолжил путь. Чтобы прибыть вовремя в пункт назначения, пришлось увеличить скорость на 10 км/ч. Сколько времени занял весь путь, включая время на остановку?
в) Из пунктов А и В, расстояние между которыми 32 км, одновременно навстречу друг другу отправились пешеход и велосипедист. Через 2 ч они встретились. После встречи пешеход прибыл в пункт В на 5 ч 20 мин позже, чем велосипедист в пункт А. Найдите скорости пешехода и велосипедиста.

Подробный ответ

Пусть с первого участка собирали по $$x$$ ц с 1 га, тогда со второго — по $$x-5$$ ц с 1 га. Так как с каждого участка собрали по $$500$$ ц, получаем:
$$\frac{500}{x-5}-\frac{500}{x}=5$$
Умножим на $$x(x-5)$$:
$$500x-500(x-5)=5x(x-5)$$
$$500x-500x+2500=5x^2-25x$$
$$5x^2-25x-2500=0$$
$$x^2-5x-500=0$$
$$D=25+2000=2025,\quad \sqrt{D}=45$$
$$x=\frac{5\pm45}{2}$$
$$x_1=-20$$ — не подходит, $$x_2=25$$.
Значит, на втором участке собирали $$25-5=20$$ ц с 1 га.
Пусть до остановки скорость машины была $$x$$ км/ч, тогда после остановки — $$x+10$$ км/ч. Половина пути равна $$420$$ км. Составим уравнение:
$$\frac{420}{x}+\frac{420}{x+10}+1=\frac{840}{x}$$
После преобразований получаем:
$$x^2+10x-4200=0$$
$$D=100+16800=16900,\quad \sqrt{D}=130$$
$$x=\frac{-10\pm130}{2}$$
$$x_1=-70$$ — не подходит, $$x_2=60$$.
Тогда всё время в пути:
$$\frac{840}{60}=14$$
Пусть скорость пешехода равна $$a$$ км/ч, а велосипедиста — $$b$$ км/ч. Тогда через 2 ч они встретились, значит:
$$2(a+b)=32,\quad a+b=16$$
После встречи пешеход шёл до пункта $$B$$, а велосипедист — до пункта $$A$$. По условию:
$$\frac{32}{b}+\frac{16}{3}=\frac{32}{a}$$
Так как $$a=16-b$$, получаем:
$$\frac{32}{b}+\frac{16}{3}=\frac{32}{16-b}$$
Умножим на $$3b(16-b)$$:
$$32\cdot3(16-b)+16b(16-b)-32\cdot3b=0$$
$$-16b^2+64b+1536=0$$
$$b^2-4b-96=0$$
$$D=16+384=400,\quad \sqrt{D}=20$$
$$b=\frac{4\pm20}{2}$$
$$b_1=-8$$ — не подходит, $$b_2=12$$.
Тогда $$a=16-12=4$$.