Упр.326 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Задача

б) Числитель дроби на б меньше знаменателя. Если знаменатель увеличить на 5, а числитель умножить на 15, то получится число 1,25. Найдите дробь.
в) Числитель дроби на 2 меньше знаменателя. Если сложить эту дробь с обратной к ней дробью, то получится число 2*4/15. Найдите эту дробь.

Подробный ответ

а) Пусть числитель равен $$a$$, тогда знаменатель равен $$a+1$$. По условию:

$$\frac{3a}{2(a+1)}=1\frac{2}{7}=\frac{9}{7}.$$

Решим уравнение:

$$ \frac{3a}{2(a+1)}=\frac{9}{7} \\ 21a=18(a+1) \\ 21a=18a+18 \\ 3a=18 \\ a=6. $$

Тогда знаменатель:

$$a+1=7.$$

Искомая дробь:

$$\frac{6}{7}.$$

б) Пусть числитель равен $$a$$, тогда знаменатель равен $$a+6$$. После изменений получаем:

$$\frac{15a}{a+11}=1{,}25=1\frac{1}{4}=\frac{5}{4}.$$

Составим уравнение:

$$ \frac{15a}{a+11}=\frac{5}{4} \\ 60a=5(a+11) \\ 60a=5a+55 \\ 55a=55 \\ a=1. $$

Тогда знаменатель:

$$a+6=7.$$

Искомая дробь:

$$\frac{1}{7}.$$

в) Пусть числитель равен $$a$$, тогда знаменатель равен $$a+2$$. Обратная дробь равна $$\frac{a+2}{a}$$. По условию:

$$\frac{a}{a+2}+\frac{a+2}{a}=2\frac{4}{15}=\frac{34}{15}.$$

Умножим на $$15a(a+2)$$:

$$ 15a^2+15(a+2)^2-34a(a+2)=0 $$

$$ 15a^2+15(a^2+4a+4)-34a^2-68a=0 $$

$$ -4a^2-8a+60=0 $$

$$ a^2+2a-15=0 $$

$$ (a+5)(a-3)=0 $$

Отсюда $$a=-5$$ или $$a=3$$. Значение $$a=-5$$ не подходит, так как тогда дробь равна $$\frac{-5}{-3}$$ и числитель не на 2 меньше знаменателя в положительном смысле. Берём $$a=3$$.

Тогда знаменатель:

$$a+2=5.$$

Искомая дробь:

$$\frac{3}{5}.$$