Упр.326 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)
- а) Числитель дроби на $$1$$ меньше знаменателя. Если числитель умножить на $$3$$, а знаменатель — на $$2$$, то получится число $$1\frac{2}{7}$$. Найдите дробь.
б) Числитель дроби на $$6$$ меньше знаменателя. Если знаменатель увеличить на $$5$$, а числитель умножить на $$15$$, то получится число $$1{,}25$$. Найдите дробь.
в) Числитель дроби на $$2$$ меньше знаменателя. Если сложить эту дробь с обратной к ней дробью, то получится число $$2\frac{4}{15}$$. Найдите эту дробь.
а) Пусть числитель равен $$a$$, тогда знаменатель равен $$a+1$$. По условию:
$$\frac{3a}{2(a+1)}=1\frac{2}{7}=\frac{9}{7}.$$
Решим уравнение:
$$\frac{3a}{2(a+1)}=\frac{9}{7} \\ 21a=18(a+1) \\ 21a=18a+18 \\ 3a=18 \\ a=6.$$
Тогда знаменатель:
$$a+1=7.$$
Искомая дробь:
$$\frac{6}{7}.$$
б) Пусть числитель равен $$a$$, тогда знаменатель равен $$a+6$$. После изменений получаем:
$$\frac{15a}{a+11}=1{,}25=1\frac{1}{4}=\frac{5}{4}.$$
Составим уравнение:
$$\frac{15a}{a+11}=\frac{5}{4} \\ 60a=5(a+11) \\ 60a=5a+55 \\ 55a=55 \\ a=1.$$
Тогда знаменатель:
$$a+6=7.$$
Искомая дробь:
$$\frac{1}{7}.$$
в) Пусть числитель равен $$a$$, тогда знаменатель равен $$a+2$$. Обратная дробь равна $$\frac{a+2}{a}$$. По условию:
$$\frac{a}{a+2}+\frac{a+2}{a}=2\frac{4}{15}=\frac{34}{15}.$$
Умножим на $$15a(a+2)$$:
$$15a^2+15(a+2)^2-34a(a+2)=0$$
$$15a^2+15(a^2+4a+4)-34a^2-68a=0$$
$$-4a^2-8a+60=0$$
$$a^2+2a-15=0$$
$$(a+5)(a-3)=0$$
Отсюда $$a=-5$$ или $$a=3$$. Значение $$a=-5$$ не подходит, так как тогда дробь равна $$\frac{-5}{-3}$$ и числитель не на 2 меньше знаменателя в положительном смысле. Берём $$a=3$$.
Тогда знаменатель:
$$a+2=5.$$
Искомая дробь:
$$\frac{3}{5}.$$
Ответ
а) $$\frac{6}{7}$$; б) $$\frac{1}{7}$$; в) $$\frac{3}{5}$$.
