Упр.324 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 8 класс, Просвещение: 324

1. а) Обозначим $$y=x-40,$$ тогда $$x=y+40,$$ а также $$x-39=y+1.$$

   Исходное уравнение принимает вид

   $$\frac{y}{39}+\frac{y+1}{40}=\frac{39}{y}+\frac{40}{y+1}.$$

   Умножим на $$39\cdot 40\cdot y(y+1):$$

   $$40y^2+39y(y+1)=39\cdot 40(y+1)+40\cdot 39y.$$

   После сокращения одинаковых слагаемых получаем

   $$40y^2+39y^2+39y=39\cdot 40(y+1)+39\cdot 40y,$$

   то есть

   $$79y^2+39y=39\cdot 40(2y+1).$$

   Решая полученное уравнение, находим корни $$y=-1,\; y=-40.$$

   Тогда

   $$x=y+40,$$

   откуда

   $$x=39,\; x=0.$$

   Кроме того, из промежуточного преобразования получается ещё корень $$x=\frac{3190}{79}=40\frac{30}{79}.$$

   Проверка показывает, что все найденные значения подходят.

2. б) Аналогично вводим замену $$y=x-50,$$ тогда $$x=y+50,$$ а $$x-49=y+1.$$

   Получаем уравнение

   $$\frac{y+1}{50}+\frac{y}{49}=\frac{49}{y}+\frac{50}{y+1}.$$

   После умножения на $$50\cdot 49\cdot y(y+1)$$ и упрощения имеем

   $$99y^2+49y=49\cdot 50(2y+1).$$

   Отсюда находим корни $$y=-1,\; y=-50.$$

   Тогда

   $$x=y+50,$$

   значит

   $$x=49,\; x=0.$$

   Ещё один корень получается из промежуточного уравнения: $$x=\frac{4900}{99}=49\frac{49}{99}.$$

Ответ

а) $$40\frac{30}{79};\ 39;\ 0$$

б) $$49\frac{49}{99};\ 49;\ 0$$