Упр.323 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 8 класс, Просвещение: 323
а)
$$\frac{7}{x^2+x+12}-\frac{6}{x^2+2x-8}=0$$
Область допустимых значений:
$$x^2+x+12\ne 0,$$
а уравнение $$x^2+x+12=0$$ не имеет корней, так как
$$D=1-48=-47<0.$$Разложим второй знаменатель на множители:
$$x^2+2x-8=(x+4)(x-2).$$
Тогда
$$ \frac{7(x^2+2x-8)-6(x^2+x+12)}{(x^2+x+12)(x+4)(x-2)}=0. $$Числитель:
$$ 7x^2+14x-56-6x^2-6x-72=x^2+8x-128. $$
Получаем:
$$ \frac{x^2+8x-128}{(x^2+x+12)(x+4)(x-2)}=0. $$Тогда
$$ x^2+8x-128=0. $$
$$ D=8^2-4\cdot 1\cdot(-128)=64+512=576, $$
$$ x_{1,2}=\frac{-8\pm 24}{2}. $$
Отсюда
$$ x_1=-16,\qquad x_2=8. $$
Оба значения подходят.б)
$$\frac{2}{a}+\frac{10}{a^2-2a}=\frac{1+2a}{a-2}$$
ОДЗ:
$$a\ne 0,\qquad a\ne 2.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$ \frac{2(a-2)+10-a(1+2a)}{a(a-2)}=0. $$Числитель:
$$ 2a-4+10-a-2a^2=-2a^2+a+6. $$
Значит,
$$ -2a^2+a+6=0. $$
$$ D=1+48=49, $$
$$ a_{1,2}=\frac{-1\pm 7}{-4}. $$
Получаем
$$ a_1=2,\qquad a_2=-\frac{3}{2}. $$
Значение $$a=2$$ не подходит по ОДЗ, поэтому
$$a=-\frac{3}{2}.$$в)
$$\frac{12}{3k-k^2}+\frac{3k+5}{k-3}+\frac{1}{k}=0$$
ОДЗ:
$$k\ne 0,\qquad k\ne 3.$$
Так как
$$3k-k^2=k(3-k),$$
а
$$k-3=-(3-k),$$
то
$$ \frac{12}{k(3-k)}-\frac{3k+5}{3-k}+\frac{1}{k}=0. $$Приведём к общему знаменателю $$k(3-k)$$:
$$ \frac{12-k(3k+5)+3-k}{k(3-k)}=0. $$
Тогда
$$ 12-3k^2-5k+3-k=0, $$
$$ -3k^2-6k+15=0. $$
Делим на $$-3$$:
$$ k^2+2k-5=0. $$
$$ D=4+20=24, $$
$$ k_{1,2}=\frac{-2\pm \sqrt{24}}{2}=-1\pm \sqrt{6}. $$г)
$$\frac{3m}{m+1}+\frac{2}{m}=\frac{2m+5}{m^2+m}$$
ОДЗ:
$$m\ne 0,\qquad m\ne -1.$$
Перенесём всё в одну дробь:
$$ \frac{3m\cdot m+2(m+1)-(2m+5)}{m(m+1)}=0. $$
Тогда
$$ 3m^2+2m+2-2m-5=0, $$
$$ 3m^2-3=0. $$
$$ m^2=1. $$
Получаем $$m=\pm 1$$, но $$m=-1$$ не подходит по ОДЗ. Значит,
$$m=1.$$д)
$$\frac{33}{b^2-11b}+\frac{b-4}{11-b}=-\frac{3}{b}$$
ОДЗ:
$$b\ne 0,\qquad b\ne 11.$$
Так как
$$b^2-11b=b(b-11),\qquad 11-b=-(b-11),$$
то
$$ \frac{33}{b(b-11)}-\frac{b-4}{b-11}+\frac{3}{b}=0. $$Приведём к общему знаменателю $$b(b-11)$$:
$$ \frac{33-b(b-4)+3(b-11)}{b(b-11)}=0. $$
Тогда
$$ 33-b^2+4b+3b-33=0, $$
$$ -b^2+7b=0, $$
$$ -b(b-7)=0. $$
Отсюда
$$b=0 \text{ или } b=7.$$
Значение $$b=0$$ не подходит, значит
$$b=7.$$е)
$$\frac{a+7}{a^2-7a}-\frac{4}{(7-a)^2}=\frac{1}{a-7}$$
ОДЗ:
$$a\ne 0,\qquad a\ne 7.$$
Так как
$$a^2-7a=a(a-7),\qquad (7-a)^2=(a-7)^2,$$
получаем:
$$ \frac{a+7}{a(a-7)}-\frac{4}{(a-7)^2}-\frac{1}{a-7}=0. $$Приведём к общему знаменателю $$a(a-7)^2$$:
$$ \frac{(a+7)(a-7)-4a-a(a-7)}{a(a-7)^2}=0. $$
Числитель:
$$ a^2-49-4a-a^2+7a=3a-49. $$
Тогда
$$ 3a-49=0, $$
$$ a=\frac{49}{3}. $$ж)
$$\frac{2p-2}{p^2-36}-\frac{p-2}{p^2-6p}-\frac{p-1}{p^2+6p}=0$$
ОДЗ:
$$p\ne 0,\qquad p\ne \pm 6.$$
Разложим знаменатели:
$$p^2-36=(p-6)(p+6),\quad p^2-6p=p(p-6),\quad p^2+6p=p(p+6).$$Приведём к общему знаменателю $$p(p-6)(p+6)$$:
$$ \frac{p(2p-2)-(p-2)(p+6)-(p-1)(p-6)}{p(p-6)(p+6)}=0. $$
Числитель:
$$ 2p^2-2p-(p^2+4p-12)-(p^2-7p+6)=0, $$
$$ p+6=0. $$
Отсюда
$$p=-6,$$
но это значение не подходит по ОДЗ.
Ответ
а) $$x=-16,\ 8$$; б) $$a=-\frac{3}{2}$$; в) $$k=-1\pm \sqrt{6}$$; г) $$m=1$$; д) $$b=7$$; е) $$a=\frac{49}{3}$$; ж) корней нет.
