Упр.323 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

1. а)

   $$\frac{7}{x^2+x+12}-\frac{6}{x^2+2x-8}=0$$

   Область допустимых значений:
   $$x^2+x+12\ne 0,$$
   а уравнение $$x^2+x+12=0$$ не имеет корней, так как
   $$D=1-48=-47<0.$$

   Разложим второй знаменатель на множители:
   $$x^2+2x-8=(x+4)(x-2).$$
   Тогда
   $$\frac{7(x^2+2x-8)-6(x^2+x+12)}{(x^2+x+12)(x+4)(x-2)}=0.$$

   Числитель:
   $$7x^2+14x-56-6x^2-6x-72=x^2+8x-128.$$
   Получаем:
   $$\frac{x^2+8x-128}{(x^2+x+12)(x+4)(x-2)}=0.$$

   Тогда
   $$x^2+8x-128=0.$$
   $$D=8^2-4\cdot 1\cdot(-128)=64+512=576,$$
   $$x_{1,2}=\frac{-8\pm 24}{2}.$$
   Отсюда
   $$x_1=-16,\qquad x_2=8.$$
   Оба значения подходят.

2. б)

   $$\frac{2}{a}+\frac{10}{a^2-2a}=\frac{1+2a}{a-2}$$

   ОДЗ:
   $$a\ne 0,\qquad a\ne 2.$$
   Приведём к общему знаменателю:
   $$\frac{2(a-2)+10-a(1+2a)}{a(a-2)}=0.$$

   Числитель:
   $$2a-4+10-a-2a^2=-2a^2+a+6.$$
   Значит,
   $$-2a^2+a+6=0.$$
   $$D=1+48=49,$$
   $$a_{1,2}=\frac{-1\pm 7}{-4}.$$
   Получаем
   $$a_1=2,\qquad a_2=-\frac{3}{2}.$$
   Значение $$a=2$$ не подходит по ОДЗ, поэтому
   $$a=-\frac{3}{2}.$$

3. в)

   $$\frac{12}{3k-k^2}+\frac{3k+5}{k-3}+\frac{1}{k}=0$$

   ОДЗ:
   $$k\ne 0,\qquad k\ne 3.$$
   Так как
   $$3k-k^2=k(3-k),$$
   а
   $$k-3=-(3-k),$$
   то
   $$\frac{12}{k(3-k)}-\frac{3k+5}{3-k}+\frac{1}{k}=0.$$

   Приведём к общему знаменателю $$k(3-k)$$:
   $$\frac{12-k(3k+5)+3-k}{k(3-k)}=0.$$
   Тогда
   $$12-3k^2-5k+3-k=0,$$
   $$-3k^2-6k+15=0.$$
   Делим на $$-3$$:
   $$k^2+2k-5=0.$$
   $$D=4+20=24,$$
   $$k_{1,2}=\frac{-2\pm \sqrt{24}}{2}=-1\pm \sqrt{6}.$$

4. г)

   $$\frac{3m}{m+1}+\frac{2}{m}=\frac{2m+5}{m^2+m}$$

   ОДЗ:
   $$m\ne 0,\qquad m\ne -1.$$
   Перенесём всё в одну дробь:
   $$\frac{3m\cdot m+2(m+1)-(2m+5)}{m(m+1)}=0.$$
   Тогда
   $$3m^2+2m+2-2m-5=0,$$
   $$3m^2-3=0.$$
   $$m^2=1.$$
   Получаем $$m=\pm 1$$, но $$m=-1$$ не подходит по ОДЗ. Значит,
   $$m=1.$$

5. д)

   $$\frac{33}{b^2-11b}+\frac{b-4}{11-b}=-\frac{3}{b}$$

   ОДЗ:
   $$b\ne 0,\qquad b\ne 11.$$
   Так как
   $$b^2-11b=b(b-11),\qquad 11-b=-(b-11),$$
   то
   $$\frac{33}{b(b-11)}-\frac{b-4}{b-11}+\frac{3}{b}=0.$$

   Приведём к общему знаменателю $$b(b-11)$$:
   $$\frac{33-b(b-4)+3(b-11)}{b(b-11)}=0.$$
   Тогда
   $$33-b^2+4b+3b-33=0,$$
   $$-b^2+7b=0,$$
   $$-b(b-7)=0.$$
   Отсюда
   $$b=0 \text{ или } b=7.$$
   Значение $$b=0$$ не подходит, значит
   $$b=7.$$

6. е)

   $$\frac{a+7}{a^2-7a}-\frac{4}{(7-a)^2}=\frac{1}{a-7}$$

   ОДЗ:
   $$a\ne 0,\qquad a\ne 7.$$
   Так как
   $$a^2-7a=a(a-7),\qquad (7-a)^2=(a-7)^2,$$
   получаем:
   $$\frac{a+7}{a(a-7)}-\frac{4}{(a-7)^2}-\frac{1}{a-7}=0.$$

   Приведём к общему знаменателю $$a(a-7)^2$$:
   $$\frac{(a+7)(a-7)-4a-a(a-7)}{a(a-7)^2}=0.$$
   Числитель:
   $$a^2-49-4a-a^2+7a=3a-49.$$
   Тогда
   $$3a-49=0,$$
   $$a=\frac{49}{3}.$$

7. ж)

   $$\frac{2p-2}{p^2-36}-\frac{p-2}{p^2-6p}-\frac{p-1}{p^2+6p}=0$$

   ОДЗ:
   $$p\ne 0,\qquad p\ne \pm 6.$$
   Разложим знаменатели:
   $$p^2-36=(p-6)(p+6),\quad p^2-6p=p(p-6),\quad p^2+6p=p(p+6).$$

   Приведём к общему знаменателю $$p(p-6)(p+6)$$:
   $$\frac{p(2p-2)-(p-2)(p+6)-(p-1)(p-6)}{p(p-6)(p+6)}=0.$$
   Числитель:
   $$2p^2-2p-(p^2+4p-12)-(p^2-7p+6)=0,$$
   $$p+6=0.$$
   Отсюда
   $$p=-6,$$
   но это значение не подходит по ОДЗ.

Ответ

а) $$x=-16,\ 8$$; б) $$a=-\frac{3}{2}$$; в) $$k=-1\pm \sqrt{6}$$; г) $$m=1$$; д) $$b=7$$; е) $$a=\frac{49}{3}$$; ж) корней нет.