Упр.317 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

а) 1/x=3 и 1/x-3=0;
б)
в)
г)

1. а) $$\frac{1}{x}=3$$ и $$\frac{1}{x}-3=0$$.

   Преобразуем второе уравнение:

   $$\frac{1}{x}-3=0 \;\Longleftrightarrow\; \frac{1}{x}=3.$$

   Следовательно, уравнения равносильны.

2. б) $$\frac{2x-4}{x-5}=0$$ и $$\frac{x-2}{x-5}=0$$.

   Числитель первого уравнения разложим на множители:

   $$\frac{2x-4}{x-5}=\frac{2(x-2)}{x-5}.$$

   Так как множитель $$2\neq 0$$, оба уравнения имеют одинаковые решения при $$x\neq 5$$. Значит, они равносильны.

3. в) $$\frac{x}{x-1}+3=0$$ и $$\frac{4x-3}{x-1}=0$$.

   Приведём левое уравнение к общему знаменателю:

   $$ \frac{x}{x-1}+3=0 \;\Longleftrightarrow\; \frac{x+3(x-1)}{x-1}=0 \;\Longleftrightarrow\; \frac{4x-3}{x-1}=0. $$

   Уравнения равносильны.

4. г) $$\frac{2x}{x-1}=x$$ и $$\frac{2}{x-1}=1$$.

   Преобразуем первое уравнение:

   $$ \frac{2x}{x-1}=x \;\Longleftrightarrow\; \frac{2x-x(x-1)}{x-1}=0 \;\Longleftrightarrow\; \frac{3x-x^2}{x-1}=0 \;\Longleftrightarrow\; \frac{x(3-x)}{x-1}=0. $$

   Второе уравнение:

   $$ \frac{2}{x-1}=1 \;\Longleftrightarrow\; \frac{2-(x-1)}{x-1}=0 \;\Longleftrightarrow\; \frac{3-x}{x-1}=0. $$

   Полученные уравнения не равносильны, так как первое имеет ещё решение $$x=0$$, а второе — нет.

Ответ

а) равносильны; б) равносильны; в) равносильны; г) не равносильны.