Упр.315 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

х + 1

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$$\frac{x^2-4x+a}{x+1}=0 \iff \begin{cases}x^2-4x+a=0,\\ x\ne -1.\end{cases}$$

Нужно, чтобы квадратное уравнение имело ровно один корень, удовлетворяющий условию $$x\ne -1$$.

1) Случай $$D=0$$.

Тогда уравнение $$x^2-4x+a=0$$ имеет один двойной корень. Найдём его дискриминант:

$$D=16-4a.$$

При $$D=0$$ получаем:

$$16-4a=0,$$

$$a=4.$$

Тогда корень:

$$x=\frac{4}{2}=2,$$

и он подходит, так как $$2\ne -1$$.

2) Случай $$D>0$$.

Чтобы уравнение имело единственный подходящий корень, один из двух корней должен быть равен $$-1$$, а второй — отличаться от $$-1$$.

Пусть

$$x_1=\frac{4-\sqrt{16-4a}}{2}=-1.$$

Тогда

$$4-\sqrt{16-4a}=-2,$$

$$\sqrt{16-4a}=6,$$

$$16-4a=36,$$

$$4a=-20,$$

$$a=-5.$$

Проверим: при $$a=-5$$ уравнение имеет корни $$x=-1$$ и $$x=5$$, значит, с учётом условия $$x\ne -1$$ остаётся ровно один корень.

Если же

$$x_2=\frac{4+\sqrt{16-4a}}{2}=-1,$$

то получаем

$$4+\sqrt{16-4a}=-2,$$

что невозможно, так как левая часть больше или равна $$4$$.

Итак, подходят значения $$a=4$$ и $$a=-5$$.

Ответ

$$a=4,\,-5$$