Упр.314 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 8 класс, Просвещение: 314

1. а)

   $$\frac{x^3-4x^2-5x}{x^2-3}=0$$
   
   Знаменатель не равен нулю:
   $$x^2-3\ne 0,\quad x\ne \pm\sqrt{3}.$$
   
   Числитель равен нулю:
   $$x^3-4x^2-5x=0,$$
   $$x(x^2-4x-5)=0,$$
   $$x=0 \quad \text{или} \quad x^2-4x-5=0.$$
   
   $$D=16+20=36,$$
   $$x_{1,2}=\frac{4\pm 6}{2}.$$
   
   $$x_1=-1,\quad x_2=5.$$
   Все найденные корни подходят.

2. б)

   $$\frac{x^3+3x^2-18x}{x^2+4}=0$$
   
   Знаменатель всегда положителен, значит ограничений нет.
   
   Числитель равен нулю:
   $$x^3+3x^2-18x=0,$$
   $$x(x^2+3x-18)=0,$$
   $$x=0 \quad \text{или} \quad x^2+3x-18=0.$$
   
   $$D=9+72=81,$$
   $$x_{1,2}=\frac{-3\pm 9}{2}.$$
   
   $$x_1=-6,\quad x_2=3.$$

3. в)

   $$\frac{2x^3-7x^2+6x}{2x^2-3x}=0$$
   
   Знаменатель не равен нулю:
   $$2x^2-3x\ne 0,$$
   $$x(2x-3)\ne 0,$$
   $$x\ne 0,\quad x\ne \frac{3}{2}.$$
   
   Числитель равен нулю:
   $$2x^3-7x^2+6x=0,$$
   $$x(2x^2-7x+6)=0.$$
   
   $$x=0$$
   не подходит.
   
   Решаем квадратное уравнение:
   $$2x^2-7x+6=0,$$
   $$D=49-48=1,$$
   $$x_{1,2}=\frac{7\pm 1}{4}.$$
   
   $$x_1=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$$
   не подходит,
   $$x_2=\frac{8}{4}=2.$$

4. г)

   $$\frac{3x^3+5x^2+2x}{2x+3x^2}=0$$
   
   Знаменатель не равен нулю:
   $$2x+3x^2\ne 0,$$
   $$x(2+3x)\ne 0,$$
   $$x\ne 0,\quad x\ne -\frac{2}{3}.$$
   
   Числитель равен нулю:
   $$3x^3+5x^2+2x=0,$$
   $$x(3x^2+5x+2)=0.$$
   
   $$x=0$$
   не подходит.
   
   Решаем квадратное уравнение:
   $$3x^2+5x+2=0,$$
   $$D=25-24=1,$$
   $$x_{1,2}=\frac{-5\pm 1}{6}.$$
   
   $$x_1=-1,\quad x_2=-\frac{2}{3}.$$
   Корень $$x=-\frac{2}{3}$$ не подходит.

5. д)

   $$\frac{9x^2-6x+1}{3x-1}=0$$
   
   Знаменатель не равен нулю:
   $$3x-1\ne 0,\quad x\ne \frac{1}{3}.$$
   
   Числитель равен нулю:
   $$9x^2-6x+1=0,$$
   $$D=36-36=0.$$
   
   $$x=\frac{6}{2\cdot 9}=\frac{1}{3},$$
   но этот корень не подходит.

6. е)

   $$\frac{25x^2+10x+1}{5x+1}=0$$
   
   Знаменатель не равен нулю:
   $$5x+1\ne 0,\quad x\ne -\frac{1}{5}.$$
   
   Числитель равен нулю:
   $$25x^2+10x+1=0,$$
   $$D=100-100=0.$$
   
   $$x=\frac{-10}{2\cdot 25}=-\frac{1}{5},$$
   но этот корень не подходит.

Ответ

а) $$x=0,\,-1,\,5$$

б) $$x=-6,\,0,\,3$$

в) $$x=2$$

г) $$x=-1$$

д) корней нет

е) корней нет