Упр.306 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

1. Найдите все значения $$a$$, при каждом из которых уравнение $$(x-1)(x^2-6x+a)=0$$ имеет ровно два корня.

Рассмотрим уравнение

$$(x-1)(x^2-6x+a)=0.$$

Один корень уже есть: $$x=1.$$

Чтобы уравнение имело ровно два различных корня, квадратный множитель должен дать только один корень, то есть иметь двойной корень. Для этого его дискриминант должен быть равен нулю:

$$D = (-6)^2 — 4\cdot 1 \cdot a = 36 — 4a.$$

Приравняем дискриминант к нулю:

$$36 — 4a = 0$$

$$4a = 36$$

$$a = 9.$$

Проверим: при $$a=9$$

$$x^2 — 6x + 9 = (x-3)^2,$$

поэтому всё уравнение имеет корни $$x=1$$ и $$x=3$$, то есть ровно два корня.

Ответ

$$a=9$$