Упр.300 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

б) Что значит «уравнение распадается на два уравнения»?

а) Пример распадающегося уравнения:

$$x^3-1=0$$

Разложим левую часть на множители:

$$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$$

Тогда получаем два уравнения:

$$x-1=0$$

$$x^2+x+1=0$$

Решаем их:

$$x=1$$

Для второго уравнения дискриминант равен

$$D=1-4=-3<0$$

значит, действительных корней оно не имеет.

Следовательно, уравнение имеет единственный действительный корень:

$$x=1$$

б) Уравнение распадается на два уравнения, если его можно представить в виде произведения двух множителей, равного нулю:

$$A(x)\cdot B(x)=0$$

Тогда достаточно приравнять к нулю каждый множитель:

$$A(x)=0,\qquad B(x)=0$$

Решения исходного уравнения — это все корни этих двух уравнений.

Ответ

а) Например, $$x^3-1=0$$, или $$ (x-1)(x^2+x+1)=0 $$; получаем $$x-1=0$$ и $$x^2+x+1=0$$, откуда $$x=1$$ (в действительных числах).
б) Уравнение распадается на два уравнения, если оно представлено в виде $$A(x)\cdot B(x)=0$$ и каждый множитель приравнивают к нулю: $$A(x)=0$$, $$B(x)=0$$.