Упр.293 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Задача

Равносильны ли уравнения:
а) $$x+2=3$$ и $$x+5=6$$;
б) $$12x=7$$ и $$1{,}2x=0{,}7$$;
в) $$2x=4$$ и $$24x-7=41$$;
г) $$x-1=3$$ и $$\frac{x^2-x}{5}=\frac{3x}{5}$$;
ж) $$3x-1+5x=x-12$$ и $$7x=-11$$;
з) $$1\frac{1}{3}x^2-x+8=0$$ и $$x^2-0{,}75x+6=0$$?

Подробный ответ

Проверим, имеют ли уравнения одинаковые множества решений.

а)
$$x+2=3 \Rightarrow x=1,$$
$$x+5=6 \Rightarrow x=1.$$
Уравнения равносильны.
б)
$$12x=7 \Rightarrow x=\frac{7}{12},$$
$$1{,}2x=0{,}7 \Rightarrow x=\frac{0{,}7}{1{,}2}=\frac{7}{12}.$$
Уравнения равносильны.
в)
$$2x=4 \Rightarrow x=2,$$
$$24x-7=41 \Rightarrow 24x=48 \Rightarrow x=2.$$
Уравнения равносильны.
г)
$$x-1=3 \Rightarrow x=4,$$
$$\frac{x^2-x}{5}=\frac{3x}{5} \Rightarrow x^2-x=3x \Rightarrow x^2-4x=0 \Rightarrow x(x-4)=0.$$
Отсюда $$x=0$$ или $$x=4.$$ Множества решений разные, значит уравнения неравносильны.
д)
$$\frac{x^2+x}{x-1}=0,\quad x\ne 1.$$
Тогда числитель равен нулю:
$$x^2+x=0 \Rightarrow x(x+1)=0 \Rightarrow x=0 \text{ или } x=-1.$$
Но во втором уравнении
$$\frac{x+1}{x-1}=0,\quad x\ne 1,$$
получаем
$$x+1=0 \Rightarrow x=-1.$$
Первое уравнение имеет ещё корень $$x=0,$$ которого нет во втором, значит уравнения неравносильны.
е)
$$\frac{x^2-1}{x-1}=0,\quad x\ne 1.$$
Тогда
$$x^2-1=0 \Rightarrow (x-1)(x+1)=0 \Rightarrow x=-1 \text{ или } x=1.$$
Но $$x=1$$ не подходит по ОДЗ, значит остаётся $$x=-1.$$
Во втором уравнении
$$x+1=0 \Rightarrow x=-1.$$
Уравнения равносильны.
ж)
$$3x-1+5x=x-12 \Rightarrow 8x-1=x-12 \Rightarrow 7x=-11 \Rightarrow x=-\frac{11}{7}.$$
Второе уравнение:
$$7x=-11 \Rightarrow x=-\frac{11}{7}.$$
Уравнения равносильны.
з)
$$1\frac{1}{3}x^2-x+8=0 \Rightarrow \frac{4}{3}x^2-x+8=0.$$
Умножим на $$\frac{3}{4}$$:
$$x^2-\frac{3}{4}x+6=0.$$
Это и есть второе уравнение, значит они равносильны.