Упр.285 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)
- а) Если периметр квадрата уменьшить на 40, то его площадь уменьшится в $$1\frac{7}{9}$$ раза. Определите периметр первоначального квадрата.
б) Прямоугольник, одна сторона которого на 11 м больше другой, преобразован в равновеликий (т. е. имеющий такую же площадь) прямоугольник, у которого большая сторона стала равной 10 м, а меньшая сторона увеличилась на 2 м. Определите площадь и стороны прямоугольника.
в) Возможен ли такой прямоугольный треугольник, стороны которого выражаются тремя последовательными натуральными числами? Тремя последовательными чётными числами? Тремя последовательными нечётными числами?
г) В каком выпуклом многоугольнике число сторон равно числу его диагоналей?
Пусть сторона квадрата равна $$a$$, тогда его периметр $$P=4a$$, а площадь $$S=a^2=\dfrac{P^2}{16}$$.
После уменьшения периметр стал равен $$P-40$$, а площадь уменьшилась в $$1\dfrac{7}{9}=\dfrac{16}{9}$$ раза, значит:
$$\frac{P^2}{16} : \frac{16}{9}=\frac{(P-40)^2}{16}$$
$$\frac{P^2}{16}\cdot \frac{9}{16}=\frac{(P-40)^2}{16}$$
$$9P^2=16(P-40)^2$$
$$9P^2=16(P^2-80P+1600)$$
$$7P^2-1280P+25600=0$$
$$D=1280^2-4\cdot 7\cdot 25600=921600,\quad \sqrt D=960$$
$$P=\frac{1280\pm 960}{14}$$
$$P_1=\frac{320}{14}\text{ — не подходит},\qquad P_2=\frac{2240}{14}=160$$
Пусть одна сторона прямоугольника равна $$a$$ м, тогда другая равна $$a+11$$ м. Его площадь:
$$S=a(a+11)$$
После преобразования стороны стали $$10$$ м и $$a+2$$ м, значит площадь равна:
$$S=10(a+2)$$
Так как площади равны, получаем:
$$a(a+11)=10(a+2)$$
$$a^2+11a=10a+20$$
$$a^2+a-20=0$$
$$D=1+80=81,\quad \sqrt D=9$$
$$a=\frac{-1\pm 9}{2}$$
$$a_1=-5\text{ — не подходит},\qquad a_2=4$$
Тогда стороны прямоугольника:
$$4\text{ м и }15\text{ м}$$
Площадь:
$$S=4\cdot 15=60\text{ м}^2$$
Пусть стороны прямоугольного треугольника — три последовательных натуральных числа: $$a,\ a+1,\ a+2$$. Тогда по теореме Пифагора:
$$a^2+(a+1)^2=(a+2)^2$$
$$a^2-2a-3=0$$
$$D=16,\quad a=\frac{2\pm 4}{2}$$
$$a=3$$
Получаем треугольник со сторонами $$3,\ 4,\ 5$$. Такой треугольник существует.
Для последовательных чётных чисел возьмём стороны $$2a,\ 2a+2,\ 2a+4$$:
$$(2a)^2+(2a+2)^2=(2a+4)^2$$
$$a^2-2a-3=0$$
$$a=3$$
Получаем стороны $$6,\ 8,\ 10$$. Такой треугольник существует.
Для последовательных нечётных чисел возьмём стороны $$2a-1,\ 2a+1,\ 2a+3$$:
$$(2a-1)^2+(2a+1)^2=(2a+3)^2$$
$$4a^2-12a-7=0$$
$$D=256,\quad a=\frac{12\pm 16}{8}$$
$$a=3{,}5$$
Тогда первая сторона равна $$2a-1=6$$, то есть не является нечётным числом. Следовательно, такого прямоугольного треугольника не существует.
У выпуклого $$n$$-угольника число диагоналей равно
$$\frac{n(n-3)}{2}$$
По условию это число равно числу сторон:
$$\frac{n(n-3)}{2}=n$$
$$n(n-3)=2n$$
$$n(n-5)=0$$
Так как $$n>2$$, получаем $$n=5$$.
Ответ
а) $$160$$; б) $$60\text{ м}^2$$, стороны $$4\text{ м}$$ и $$15\text{ м}$$; в) да, да, нет; г) в пятиугольнике.
