Упр.285 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

б) Прямоугольник, одна сторона которого на 11 м больше другой, преобразован в равновеликий (т. е. имеющий такую же площадь) прямоугольник, у которого большая сторона стала равной 10 м, а меньшая сторона увеличилась на 2 м. Определите площадь и стороны прямоугольника.
в) Возможен ли такой прямоугольный треугольник, стороны которого выражаются тремя последовательными натуральными числами? тремя последовательными чётными числами? тремя последовательными нечётными числами?
г) В каком выпуклом многоугольнике число сторон равно числу его диагоналей?

1. Пусть сторона квадрата равна $$a$$, тогда его периметр $$P=4a$$, а площадь $$S=a^2=\dfrac{P^2}{16}$$.

   После уменьшения периметр стал равен $$P-40$$, а площадь уменьшилась в $$1\dfrac{7}{9}=\dfrac{16}{9}$$ раза, значит:

   $$ \frac{P^2}{16} : \frac{16}{9}=\frac{(P-40)^2}{16} $$

   $$ \frac{P^2}{16}\cdot \frac{9}{16}=\frac{(P-40)^2}{16} $$

   $$ 9P^2=16(P-40)^2 $$

   $$ 9P^2=16(P^2-80P+1600) $$

   $$ 7P^2-1280P+25600=0 $$

   $$ D=1280^2-4\cdot 7\cdot 25600=921600,\quad \sqrt D=960 $$

   $$ P=\frac{1280\pm 960}{14} $$

   $$ P_1=\frac{320}{14}\text{ — не подходит},\qquad P_2=\frac{2240}{14}=160 $$

2. Пусть одна сторона прямоугольника равна $$a$$ м, тогда другая равна $$a+11$$ м. Его площадь:

   $$S=a(a+11)$$

   После преобразования стороны стали $$10$$ м и $$a+2$$ м, значит площадь равна:

   $$S=10(a+2)$$

   Так как площади равны, получаем:

   $$ a(a+11)=10(a+2) $$

   $$ a^2+11a=10a+20 $$

   $$ a^2+a-20=0 $$

   $$ D=1+80=81,\quad \sqrt D=9 $$

   $$ a=\frac{-1\pm 9}{2} $$

   $$ a_1=-5\text{ — не подходит},\qquad a_2=4 $$

   Тогда стороны прямоугольника:

   $$4\text{ м и }15\text{ м}$$

   Площадь:

   $$ S=4\cdot 15=60\text{ м}^2 $$

3. Пусть стороны прямоугольного треугольника — три последовательных натуральных числа: $$a,\ a+1,\ a+2$$. Тогда по теореме Пифагора:

   $$ a^2+(a+1)^2=(a+2)^2 $$

   $$ a^2-2a-3=0 $$

   $$ D=16,\quad a=\frac{2\pm 4}{2} $$

   $$ a=3 $$

   Получаем треугольник со сторонами $$3,\ 4,\ 5$$. Такой треугольник существует.

   Для последовательных чётных чисел возьмём стороны $$2a,\ 2a+2,\ 2a+4$$:

   $$ (2a)^2+(2a+2)^2=(2a+4)^2 $$

   $$ a^2-2a-3=0 $$

   $$ a=3 $$

   Получаем стороны $$6,\ 8,\ 10$$. Такой треугольник существует.

   Для последовательных нечётных чисел возьмём стороны $$2a-1,\ 2a+1,\ 2a+3$$:

   $$ (2a-1)^2+(2a+1)^2=(2a+3)^2 $$

   $$ 4a^2-12a-7=0 $$

   $$ D=256,\quad a=\frac{12\pm 16}{8} $$

   $$ a=3{,}5 $$

   Тогда первая сторона равна $$2a-1=6$$, то есть не является нечётным числом. Следовательно, такого прямоугольного треугольника не существует.

4. У выпуклого $$n$$-угольника число диагоналей равно

   $$ \frac{n(n-3)}{2} $$

   По условию это число равно числу сторон:

   $$ \frac{n(n-3)}{2}=n $$

   $$ n(n-3)=2n $$

   $$ n(n-5)=0 $$

   Так как $$n>2$$, получаем $$n=5$$.

Ответ

а) $$160$$; б) $$60\text{ м}^2$$, стороны $$4\text{ м}$$ и $$15\text{ м}$$; в) да, да, нет; г) в пятиугольнике.