Упр.284 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

б) Найдите двузначное число, если цифра единиц этого числа на 4 меньше цифры его десятков и произведение числа на сумму его цифр равно 306.

1. а) Пусть цифра единиц равна $$b$$, тогда цифра десятков равна $$b+2$$. Тогда число равно $$10(b+2)+b=11b+20$$, а число, полученное перестановкой цифр, равно $$10b+(b+2)=11b+2$$.

   По условию:

   $$ (11b+20)^2+(11b+2)^2=4034 $$

   Раскроем скобки:

   $$ 121b^2+440b+400+121b^2+44b+4=4034 $$

   $$ 242b^2+484b-3630=0 $$

   Разделим на $$242$$:

   $$ b^2+2b-15=0 $$

   $$ D=2^2-4\cdot 1\cdot(-15)=64 $$

   $$ b=\frac{-2\pm 8}{2} $$

   $$ b_1=-5 \; \text{(не подходит)}, \qquad b_2=3 $$

   Тогда цифра десятков равна $$3+2=5$$, значит, число равно $$53$$. При перестановке цифр получается число $$35$$, которое тоже подходит.

2. б) Пусть цифра десятков равна $$a$$, тогда цифра единиц равна $$a-4$$. Тогда число равно $$10a+(a-4)=11a-4$$, а сумма цифр равна $$a+(a-4)=2a-4$$.

   По условию:

   $$ (11a-4)(2a-4)=306 $$

   $$ 22a^2-44a-8a+16=306 $$

   $$ 22a^2-52a-290=0 $$

   Разделим на $$2$$:

   $$ 11a^2-26a-145=0 $$

   $$ D=(-26)^2-4\cdot 11\cdot(-145)=7056 $$

   $$ \sqrt{D}=84 $$

   $$ a=\frac{26\pm 84}{22} $$

   $$ a_1=-\frac{29}{11} \; \text{(не подходит)}, \qquad a_2=5 $$

   Тогда цифра единиц равна $$5-4=1$$, значит, искомое число $$51$$.

Ответ

а) $$53$$ или $$35$$; б) $$51$$.