Упр.284 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

1. а) Одна из цифр двузначного числа на $$2$$ больше другой, а сумма квадратов этого числа и числа, полученного от перестановки его цифр, равна $$4034$$. Найдите это число.
   б) Найдите двузначное число, если цифра единиц этого числа на $$4$$ меньше цифры его десятков и произведение числа на сумму его цифр равно $$306$$.

1. а) Пусть цифра единиц равна $$b$$, тогда цифра десятков равна $$b+2$$. Тогда число равно $$10(b+2)+b=11b+20$$, а число, полученное перестановкой цифр, равно $$10b+(b+2)=11b+2$$.

   По условию:

   $$(11b+20)^2+(11b+2)^2=4034$$

   Раскроем скобки:

   $$121b^2+440b+400+121b^2+44b+4=4034$$

   $$242b^2+484b-3630=0$$

   Разделим на $$242$$:

   $$b^2+2b-15=0$$

   $$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-15)=64$$

   $$b=\frac{-2\pm 8}{2}$$

   $$b_1=-5 \; \text{(не подходит)}, \qquad b_2=3$$

   Тогда цифра десятков равна $$3+2=5$$, значит, число равно $$53$$. При перестановке цифр получается число $$35$$, которое тоже подходит.

2. б) Пусть цифра десятков равна $$a$$, тогда цифра единиц равна $$a-4$$. Тогда число равно $$10a+(a-4)=11a-4$$, а сумма цифр равна $$a+(a-4)=2a-4$$.

   По условию:

   $$(11a-4)(2a-4)=306$$

   $$22a^2-44a-8a+16=306$$

   $$22a^2-52a-290=0$$

   Разделим на $$2$$:

   $$11a^2-26a-145=0$$

   $$D=(-26)^2-4\cdot 11\cdot(-145)=7056$$

   $$\sqrt{D}=84$$

   $$a=\frac{26\pm 84}{22}$$

   $$a_1=-\frac{29}{11} \; \text{(не подходит)}, \qquad a_2=5$$

   Тогда цифра единиц равна $$5-4=1$$, значит, искомое число $$51$$.

Ответ

а) $$53$$ или $$35$$; б) $$51$$.