Упр.283 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

1. а) Найдите два числа, сумма которых равна $$20$$, а сумма их квадратов равна $$218$$. б) Найдите два числа, сумма которых равна $$-2$$, а сумма их квадратов равна $$34$$.

а) Пусть числа равны $$x$$ и $$y$$. Тогда

$$\begin{cases} x+y=20,\\ x^2+y^2=218. \end{cases}$$

Выразим $$x$$: $$x=20-y$$. Подставим во второе уравнение:

$$(20-y)^2+y^2=218$$

$$400-40y+y^2+y^2=218$$

$$2y^2-40y+182=0$$

$$y^2-20y+91=0$$

$$D=20^2-4\cdot 91=400-364=36$$

$$y=\frac{20\pm 6}{2}$$

$$y_1=7,\quad y_2=13$$

Тогда

$$x_1=20-7=13,\quad x_2=20-13=7$$

Итак, числа: $$7$$ и $$13$$.

б) Пусть числа равны $$x$$ и $$y$$. Тогда

$$\begin{cases} x+y=-2,\\ x^2+y^2=34. \end{cases}$$

Выразим $$x$$: $$x=-2-y$$. Подставим во второе уравнение:

$$(-2-y)^2+y^2=34$$

$$4+4y+y^2+y^2=34$$

$$2y^2+4y-30=0$$

$$y^2+2y-15=0$$

$$D=2^2-4\cdot(-15)=4+60=64$$

$$y=\frac{-2\pm 8}{2}$$

$$y_1=-5,\quad y_2=3$$

Тогда

$$x_1=-2-(-5)=3,\quad x_2=-2-3=-5$$

Итак, числа: $$-5$$ и $$3$$.

Ответ

а) $$7$$ и $$13$$; б) $$-5$$ и $$3$$.