Упр.28 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Докажите, что если точка $$C(x)$$ принадлежит отрезку $$AB$$, где $$A(x_1)$$ и $$B(x_2)$$, и делит этот отрезок в отношении $$AC:CB=m:n$$, то координата точки $$C$$ вычисляется по формуле $$x=\frac{nx_1+mx_2}{m+n}$$.

Так как точка $$C(x)$$ лежит на отрезке $$AB$$ и делит его в отношении $$AC:CB=m:n$$, то

$$\frac{AC}{m}=\frac{CB}{n}.$$

Поскольку координаты точек $$A(x_1)$$, $$C(x)$$, $$B(x_2)$$ расположены на одной прямой, имеем

$$AC=x-x_1,\qquad CB=x_2-x.$$

Тогда

$$\frac{x-x_1}{m}=\frac{x_2-x}{n}.$$

Перемножим крест-накрест:

$$n(x-x_1)=m(x_2-x).$$

Раскроем скобки:

$$nx-nx_1=mx_2-mx.$$

Перенесём слагаемые с $$x$$ в одну сторону, а остальные — в другую:

$$nx+mx=mx_2+nx_1.$$

Вынесем $$x$$ за скобки:

$$x(m+n)=nx_1+mx_2.$$

Отсюда

$$x=\frac{nx_1+mx_2}{m+n}.$$

Ответ

$$x=\frac{nx_1+mx_2}{m+n}$$