Упр.278 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Уравнение $$x^2-2x-5=0$$ имеет два корня $$x_1$$ и $$x_2$$. Вычислите: а) $$x_1+x_2$$; б) $$x_1\cdot x_2$$; в) $$(x_1+x_2)^2$$; г) $$x_1^2+x_2^2$$; д) $$x_1^3+x_2^3$$; е) $$(x_1-x_2)^2$$.

По теореме Виета для уравнения $$x^2-2x-5=0$$ имеем:

$$x_1+x_2=2,$$

$$x_1x_2=-5.$$

Тогда:

а) $$x_1+x_2=2;$$

б) $$x_1x_2=-5;$$

в) $$\left(x_1+x_2\right)^2=2^2=4;$$

г) $$x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=2^2-2\cdot(-5)=4+10=14;$$

д) $$x_1^3+x_2^3=\left(x_1+x_2\right)\left(x_1^2-x_1x_2+x_2^2\right)$$

$$=\left(x_1+x_2\right)\left(\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2\right)=2\left(2^2-3\cdot(-5)\right)=2(4+15)=38;$$

е) $$\left(x_1-x_2\right)^2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=2^2-4\cdot(-5)=4+20=24.$$

Ответ

а) $$2$$; б) $$-5$$; в) $$4$$; г) $$14$$; д) $$38$$; е) $$24$$.