Упр.274 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

а) равны соответственно сумме и произведению корней уравнения 3×2 + 2х — 15 = 0;
б) больше корней уравнения 3×2-11x +2 = 0 на единицу;
в) меньше корней уравнения 2×2 -13x+ 3 = 0 в два раза.

1. Найдём сумму и произведение корней уравнения $$3x^2+2x-15=0$$.

   По теореме Виета:

   $$x_1+x_2=-\frac{2}{3}, \qquad x_1x_2=-5.$$

   Тогда искомое уравнение имеет корни $$-\frac{2}{3}$$ и $$-5$$. Составим его:

   $$ (x+\frac{2}{3})(x+5)=0 $$

   $$ x^2+\frac{17}{3}x+\frac{10}{3}=0. $$

2. Найдём сумму и произведение корней уравнения $$3x^2-11x+2=0$$.

   По теореме Виета:

   $$x_1+x_2=\frac{11}{3}, \qquad x_1x_2=\frac{2}{3}.$$

   Корни искомого уравнения больше на единицу, значит они равны $$x_1+1$$ и $$x_2+1$$.

   Тогда:

   $$ p=-(x_1+1+x_2+1)=-\left(\frac{11}{3}+2\right)=-\frac{17}{3}, $$

   $$ q=(x_1+1)(x_2+1)=x_1x_2+x_1+x_2+1=\frac{2}{3}+\frac{11}{3}+1=5. $$

   Искомое уравнение:

   $$ x^2-\frac{17}{3}x+5=0. $$

3. Найдём сумму и произведение корней уравнения $$2x^2-13x+3=0$$.

   По теореме Виета:

   $$x_1+x_2=\frac{13}{2}, \qquad x_1x_2=\frac{3}{2}.$$

   Корни искомого уравнения в 2 раза меньше, значит они равны $$\frac{x_1}{2}$$ и $$\frac{x_2}{2}$$.

   Тогда:

   $$ p=-\left(\frac{x_1}{2}+\frac{x_2}{2}\right)=-\frac{x_1+x_2}{2}=-\frac{13}{4}, $$

   $$ q=\frac{x_1}{2}\cdot\frac{x_2}{2}=\frac{x_1x_2}{4}=\frac{3}{8}. $$

   Искомое уравнение:

   $$ x^2-\frac{13}{4}x+\frac{3}{8}=0. $$

Ответ

а) $$x^2+\frac{17}{3}x+\frac{10}{3}=0$$; б) $$x^2-\frac{17}{3}x+5=0$$; в) $$x^2-\frac{13}{4}x+\frac{3}{8}=0$$.