Упр.263 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

а) теорему Виета;
б) теорему, обратную теореме Виета.

а) Докажем теорему Виета. Пусть дано неприведённое квадратное уравнение

$$x^2+px+q=0.$$

Его корни равны

$$x_1=\frac{-p-\sqrt{D}}{2}, \qquad x_2=\frac{-p+\sqrt{D}}{2},$$

где $$D=p^2-4q.$$ Тогда

$$ x_1+x_2=\frac{-p-\sqrt{D}}{2}+\frac{-p+\sqrt{D}}{2} =\frac{-2p}{2}=-p. $$

Найдём произведение корней:

$$ x_1x_2=\frac{-p-\sqrt{D}}{2}\cdot \frac{-p+\sqrt{D}}{2} =\frac{(-p-\sqrt{D})(-p+\sqrt{D})}{4} =\frac{p^2-D}{4}. $$

Так как $$D=p^2-4q,$$ то

$$ x_1x_2=\frac{p^2-(p^2-4q)}{4}=\frac{4q}{4}=q. $$

Следовательно,

$$x_1+x_2=-p, \qquad x_1x_2=q.$$

б) Докажем теорему, обратную теореме Виета. Пусть числа $$x_1$$ и $$x_2$$ таковы, что

$$x_1+x_2=-p, \qquad x_1x_2=q.$$

Рассмотрим выражение

$$ (x-x_1)(x-x_2)=x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2. $$

Подставим данные условия:

$$ (x-x_1)(x-x_2)=x^2-(-p)x+q=x^2+px+q. $$

Если подставить $$x=x_1$$ или $$x=x_2$$, получим нуль, значит, $$x_1$$ и $$x_2$$ являются корнями уравнения $$x^2+px+q=0$$.

Ответ

$$x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q.$$ Если $$x_1+x_2=-p$$ и $$x_1x_2=q,$$ то $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения $$x^2+px+q=0.$$