Упр.26 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Докажите, что для любого числа $$x$$:

1. а) $$|15x-16|=|16-15x|$$; б) $$|x^2-7|=|7-x^2|$$; в) $$12x-1\leq|1-12x|$$; г) $$x^2-2011\leq|2011-x^2|$$; д) $$|x^2-49|=|x-7|\cdot|x+7|$$; е) $$|x^2-3|=\frac{|x^4-9|}{|x^2+3|}$$; ж) $$|8+5x|\leq|1+2x|+|7+3x|$$; з) $$|1+6x|\leq|5x-11|+|12+x|$$; и) $$|2+4x|\leq|6+7x|+|4+3x|$$; к) $$|x-23|\leq|12x-11|+|12+11x|$$.

1. $$|15x-16|=|16-15x|$$

   Так как $$16-15x=-(15x-16)$$, то по свойству модуля $$|a|=|-a|$$ получаем:

   $$|15x-16|=|16-15x|.$$

2. $$|x^2-7|=|7-x^2|$$

   Поскольку $$7-x^2=-(x^2-7)$$, то

   $$|x^2-7|=|7-x^2|.$$

3. $$12x-1\le |1-12x|$$

   Заметим, что $$1-12x=-(12x-1)$$, значит

   $$|1-12x|=|12x-1|.$$

   По свойству модуля $$a\le |a|$$ для любого $$a$$ имеем:

   $$12x-1\le |12x-1|=|1-12x|.$$

4. $$x^2-2011\le |2011-x^2|$$

   Так как $$2011-x^2=-(x^2-2011)$$, то

   $$|2011-x^2|=|x^2-2011|.$$

   Следовательно,

   $$x^2-2011\le |x^2-2011|=|2011-x^2|.$$

5. $$|x^2-49|=|x-7|\cdot|x+7|$$

   Разложим разность квадратов:

   $$x^2-49=(x-7)(x+7).$$

   Тогда

   $$|x^2-49|=|(x-7)(x+7)|=|x-7|\cdot|x+7|.$$

6. $$|x^2-3|=\frac{|x^4-9|}{|x^2+3|}$$

   Так как

   $$x^4-9=(x^2-3)(x^2+3),$$

   то

   $$\frac{|x^4-9|}{|x^2+3|}=\frac{|x^2-3|\cdot|x^2+3|}{|x^2+3|}.$$

   Поскольку $$x^2+3>0$$ при любом $$x$$, получаем:

   $$\frac{|x^4-9|}{|x^2+3|}=|x^2-3|.$$

7. $$|8+5x|\le |1+2x|+|7+3x|$$

   Заметим, что

   $$8+5x=(1+2x)+(7+3x).$$

   По неравенству треугольника:

   $$|8+5x|=|(1+2x)+(7+3x)|\le |1+2x|+|7+3x|.$$

8. $$|1+6x|\le |5x-11|+|12+x|$$

   Имеем

   $$1+6x=(5x-11)+(12+x).$$

   Тогда

   $$|1+6x|=|(5x-11)+(12+x)|\le |5x-11|+|12+x|.$$

9. $$|2+4x|\le |6+7x|+|4+3x|$$

   Так как

   $$2+4x=(6+7x)-(4+3x),$$

   то

   $$|2+4x|=|(6+7x)-(4+3x)|\le |6+7x|+|4+3x|.$$

10. $$|x-23|\le |12x-11|+|12+11x|$$

    Заметим, что

    $$x-23=(12x-11)-(12+11x).$$

    Следовательно,

    $$|x-23|=|(12x-11)-(12+11x)|\le |12x-11|+|12+11x|.$$

Ответ

Все равенства и неравенства верны для любого числа $$x$$.