Упр.26 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Задача

а) |15х — 16| = |16 — 15х|;
б) |х2- 7| = |7 — х2|;
в) 12х — 1 < |1 - 12х|; г) х2 - 2011 < = |2011 - х2|; д) |х2- 49| = |х- 7| * |х+ 7|; е) |х2 — 3| = |x4-9|/|x2+3| ж) |8 + 5х| < = |1 + 2х| + |7 + 3х|; з) |1 + 6х| < =|5х- 11| + |12 + х|; и) |2 + 4х| < = |6 + 7х| + |4 + 3х|; к) |х - 23| < = |12х- 11| + |12 + 11х|.

Подробный ответ

$$|15x-16|=|16-15x|$$
Так как $$16-15x=-(15x-16)$$, то по свойству модуля $$|a|=|-a|$$ получаем:
$$|15x-16|=|16-15x|.$$
$$|x^2-7|=|7-x^2|$$
Поскольку $$7-x^2=-(x^2-7)$$, то
$$|x^2-7|=|7-x^2|.$$
$$12x-1\le |1-12x|$$
Заметим, что $$1-12x=-(12x-1)$$, значит
$$|1-12x|=|12x-1|.$$
По свойству модуля $$a\le |a|$$ для любого $$a$$ имеем:
$$12x-1\le |12x-1|=|1-12x|.$$
$$x^2-2011\le |2011-x^2|$$
Так как $$2011-x^2=-(x^2-2011)$$, то
$$|2011-x^2|=|x^2-2011|.$$
Следовательно,
$$x^2-2011\le |x^2-2011|=|2011-x^2|.$$
$$|x^2-49|=|x-7|\cdot|x+7|$$
Разложим разность квадратов:
$$x^2-49=(x-7)(x+7).$$
Тогда
$$|x^2-49|=|(x-7)(x+7)|=|x-7|\cdot|x+7|.$$
$$|x^2-3|=\frac{|x^4-9|}{|x^2+3|}$$
Так как
$$x^4-9=(x^2-3)(x^2+3),$$
то
$$\frac{|x^4-9|}{|x^2+3|}=\frac{|x^2-3|\cdot|x^2+3|}{|x^2+3|}.$$
Поскольку $$x^2+3>0$$ при любом $$x$$, получаем:
$$\frac{|x^4-9|}{|x^2+3|}=|x^2-3|.$$
$$|8+5x|\le |1+2x|+|7+3x|$$
Заметим, что
$$8+5x=(1+2x)+(7+3x).$$
По неравенству треугольника:
$$|8+5x|=|(1+2x)+(7+3x)|\le |1+2x|+|7+3x|.$$
$$|1+6x|\le |5x-11|+|12+x|$$
Имеем
$$1+6x=(5x-11)+(12+x).$$
Тогда
$$|1+6x|=|(5x-11)+(12+x)|\le |5x-11|+|12+x|.$$
$$|2+4x|\le |6+7x|+|4+3x|$$
Так как
$$2+4x=(6+7x)-(4+3x),$$
то
$$|2+4x|=|(6+7x)-(4+3x)|\le |6+7x|+|4+3x|.$$
$$|x-23|\le |12x-11|+|12+11x|$$
Заметим, что
$$x-23=(12x-11)-(12+11x).$$
Следовательно,
$$|x-23|=|(12x-11)-(12+11x)|\le |12x-11|+|12+11x|.$$