Упр.252 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

252. Решите уравнение:
     а) $$|x^2 — 5x + 2| = 2$$;
     б) $$|x^2 — 4x — 1| = 4$$;
     в) $$|x^2 — 4x + 1| = |x^2 — 3x — 10|$$;
     г) $$|x^2 — 7x + 2| = |x^2 — 2x — 13|$$.

1. а) $$|x^2-5x+2|=2$$

   Рассмотрим два случая:

   $$x^2-5x+2=2 \quad \text{или} \quad x^2-5x+2=-2$$

   1) $$x^2-5x=0$$

   $$x(x-5)=0$$

   $$x=0 \quad \text{или} \quad x=5$$

   2) $$x^2-5x+4=0$$

   $$D=25-16=9,\quad \sqrt{D}=3$$

   $$x=\frac{5\pm 3}{2}$$

   $$x=1 \quad \text{или} \quad x=4$$

   Ответ: $$x=0,\;1,\;4,\;5$$.

2. б) $$|x^2-4x-1|=4$$

   Рассмотрим два случая:

   $$x^2-4x-1=4 \quad \text{или} \quad x^2-4x-1=-4$$

   1) $$x^2-4x-5=0$$

   $$D=16+20=36,\quad \sqrt{D}=6$$

   $$x=\frac{4\pm 6}{2}$$

   $$x=-1 \quad \text{или} \quad x=5$$

   2) $$x^2-4x+3=0$$

   $$D=16-12=4,\quad \sqrt{D}=2$$

   $$x=\frac{4\pm 2}{2}$$

   $$x=1 \quad \text{или} \quad x=3$$

   Ответ: $$x=-1,\;1,\;3,\;5$$.

3. в) $$|x^2-4x+1|=|x^2-3x-10|$$

   Возможны два случая:

   $$x^2-4x+1=x^2-3x-10 \quad \text{или} \quad x^2-4x+1=-(x^2-3x-10)$$

   1) $$-x+11=0$$

   $$x=11$$

   2) $$2x^2-7x-9=0$$

   $$D=49+72=121,\quad \sqrt{D}=11$$

   $$x=\frac{7\pm 11}{4}$$

   $$x=-1 \quad \text{или} \quad x=4{,}5$$

   Ответ: $$x=-1,\;4{,}5,\;11$$.

4. г) $$|x^2-7x+2|=|x^2-2x-13|$$

   Возможны два случая:

   $$x^2-7x+2=x^2-2x-13 \quad \text{или} \quad x^2-7x+2=-(x^2-2x-13)$$

   1) $$-5x+15=0$$

   $$x=3$$

   2) $$2x^2-9x-11=0$$

   $$D=81+88=169,\quad \sqrt{D}=13$$

   $$x=\frac{9\pm 13}{4}$$

   $$x=-1 \quad \text{или} \quad x=5{,}5$$

   Ответ: $$x=-1,\;3,\;5{,}5$$.

Ответ

а) $$x=0,\;1,\;4,\;5$$; б) $$x=-1,\;1,\;3,\;5$$; в) $$x=-1,\;4{,}5,\;11$$; г) $$x=-1,\;3,\;5{,}5$$.