Упр.25 ГДЗ Никольский Потапов 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 8 класс, Просвещение: 25. Докажите свойства 1—6 модуля числа. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 8 nikol8 25 827

1. Докажем свойство $$|-a|=|a|.$$

   Если $$a>0,$$ то $$|-a|=-(-a)=a=|a|.$$

   Если $$a<0,$$ то $$|-a|=-a=|a|.$$

   Если $$a=0,$$ то $$|-a|=0=|a|.$$

2. Докажем, что $$a\le |a|.$$

   Если $$a>0,$$ то $$|a|=a,$$ значит, $$a\le |a|.$$

   Если $$a<0,$$ то $$|a|=-a,$$ а так как $$a<0,$$ то $$a\le -a=|a|.$$

   Если $$a=0,$$ то $$a=|a|.$$

3. Докажем свойство $$|a\cdot b|=|a|\cdot |b|.$$

   Рассмотрим возможные случаи:

   • если $$a>0,\ b>0,$$ то $$|ab|=ab=|a|\cdot |b|$$;
   • если $$a<0,\ b<0,$$ то $$|ab|=ab=(-a)(-b)=|a|\cdot |b|$$;
   • если один из множителей положителен, а другой отрицателен, то $$|ab|=-ab=|a|\cdot |b|.$$

4. Докажем, что $$\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|},\quad b\ne 0.$$

   Достаточно показать, что $$\left|\frac{1}{b}\right|=\frac{1}{|b|}.$$

   Если $$b>0,$$ то $$\left|\frac{1}{b}\right|=\frac{1}{b}=\frac{1}{|b|}.$$

   Если $$b<0,$$ то $$\left|\frac{1}{b}\right|=\frac{1}{-b}=\frac{1}{|b|}.$$

   Тогда

   $$\left|\frac{a}{b}\right|=|a|\cdot \left|\frac{1}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|}.$$

5. Докажем неравенство $$|a+b|\le |a|+|b|.$$

   Если $$a>0,\ b>0,$$ то $$|a+b|=a+b=|a|+|b|.$$

   Если $$a<0,\ b>0,$$ то $$|a+b|=|b-a|\le |a|+|b|.$$

   Если $$a>0,\ b<0,$$ то аналогично получаем $$|a+b|\le |a|+|b|.$$

   Если $$a<0,\ b<0,$$ то

   $$|a+b|=|-(|a|+|b|)|=|a|+|b|.$$

6. Докажем, что $$|a-b|\le |a|+|b|.$$

   Так как $$a-b=a+(-b),$$ то по свойству из пункта 5 имеем

   $$|a-b|=|a+(-b)|\le |a|+|-b|=|a|+|b|.$$

Ответ

Свойства $$1-6$$ модуля числа доказаны.